Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2+x−a∣3x∣−2x−5−a=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Уравнение равносильно системе
{3∣x∣−2x−5−a=0,(1)x2+x−a=0. Рассмотрим уравнение (1): 3∣x∣−2x−5−a=0. При x⩾0 имеем:
3x−2x−5−a=0;x=5+a. Найдём, при каких ax=5+a удовлетворяет условию x⩾0: 5+a⩾0;a⩾−5.При x<0 имеем:
−3x−2x−5−a=0;x=−5a+5. Найдём, при каких ax=−5a+5 удовлетворяет условию x<0: −5a+5<0;a+5>0;a>−5. Найдём, при каких ax=5+a обращает знаменатель в ноль:
(5+a)2+5+a−a=0;a2+10a+25+a+5−a=0;a2+10a+30=0. D=100−120=−20<0, значит, x=5+a ни при каких a не обращает знаменатель в ноль.
Найдем, при каких ax=−5a+5 обращает знаменатель в ноль:
(−5a+5)2−5a+5−a=0;25a2+2510a+2525−5a+5−a=0;a2+10a+25−5a−25−25a=0;a2−20a=0;a(a−20)=0;a=0,a=20. Исходное уравнение будет иметь два решения, если x=a+5 и x=−5a+5 являются корнями числителя и не обращают знаменатель в ноль. Получим систему:
⎩⎨⎧a+5⩾0,−5a+5<0,a=0,a=20,⎩⎨⎧a⩾−5,a>−5,a=0,a=20. Тогда получим a∈(−5;0)∪(0;20)∪(20;+∞).
