Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2016 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{|3x|-2x-5-a}{x^2+x-a}=0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Уравнение равносильно системе

\begin{cases}3|x| - 2x - 5 - a = 0, \quad (1) \\x^2 + x - a \neq 0. \quad\end{cases}

Рассмотрим уравнение (1):

3|x| - 2x - 5 - a = 0

. При

x \geqslant 0

имеем:

3x - 2x - 5 - a = 0;\\[0.5em]x = 5 + a.

Найдём, при каких

a \ x=5+a

удовлетворяет условию

x\geqslant0:

5+a\geqslant0;\\a\geqslant-5.

При

x < 0

имеем:

-3x - 2x - 5 - a = 0;\\[0.5em]x = -\dfrac{a+5}{5}.

Найдём, при каких

a \ x=-\dfrac{a+5}{5}

удовлетворяет условию

x < 0:

-\dfrac{a+5}{5}<0;\\[0.5em]a+5>0;\\[0.5em]a>-5.

Найдём, при каких

a

x = 5+a

обращает знаменатель в ноль:

(5+a)^2 + 5+a - a = 0;\\[0.5em]a^2 + 10a + 25 + a + 5 - a = 0;\\[0.5em]a^2 + 10a + 30 = 0.

D = 100 - 120 = -20 < 0

, значит,

x = 5+a

ни при каких

a

не обращает знаменатель в ноль.

Найдем, при каких

a

x = -\dfrac{a+5}{5}

обращает знаменатель в ноль:

\left(-\dfrac{a+5}{5}\right)^2 - \dfrac{a+5}{5} - a = 0;\\[0.5em]\dfrac{a^2}{25} + \dfrac{10a}{25} + \dfrac{25}{25} - \dfrac{a+5}{5} - a = 0;\\[0.5em]a^2 + 10a + 25 - 5a - 25 - 25a = 0;\\[0.5em]a^2 - 20a = 0;\\[0.5em]a(a-20) = 0;\\[0.5em]a = 0, \ a = 20.

Исходное уравнение будет иметь два решения, если

x = a+5

x = -\dfrac{a+5}{5}

являются корнями числителя и не обращают знаменатель в ноль. Получим систему:

\begin{cases}a+5\geqslant 0, \\-\dfrac{a+5}{5} < 0, \\a \neq 0, \\a \neq 20,\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}a \geqslant -5, \\a > -5, \\a \neq 0, \\a \neq 20.\end{cases}

Тогда получим

a \in (-5; 0) \cup (0; 20) \cup (20; +\infty)

.

Ответ:

a \in (-5; 0) \cup (0; 20) \cup (20; +\infty)

Похожие задачи