Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -5\pi; -\dfrac{7\pi}{2} \right]

Решение

а) Сделаем замену

t = 4^{\sin x} > 0

t^2 - 6t + 8 = 0.

С помощью теоремы Виета находим корни этого квадратного уравнения:

\left[ \begin{array}{l} t = 2,\\ t = 4. \end{array} \right.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} 4^{\sin x} = 2,\\ 4^{\sin x} = 4. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2^{2\sin x} = 2^1,\\ 2^{2\sin x} = 2^2. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2\sin x = 1,\\ 2\sin x = 2. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = \dfrac{1}{2},\\ \sin x = 1. \end{array} \right. \Leftrightarrow\;

\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[3mm] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\\[3mm] x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{7\pi}{2},\ -\dfrac{23\pi}{6}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи