В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ:
Решение
Пусть основания равны a и b,b>a, а боковая сторона равна l. Так как в трапецию можно вписать окружность и она равнобедренная, 2l=a+b. Из периметра P=80 получаем l=20,a+b=40. По площади трапеции 320=2a+b⋅h, значит h=16. После опускания высот получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой l и катетом h. Поэтому 2b−a=202−162=12, то есть b−a=24. Тогда a=8,b=32. Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому расстояние до меньшего основания равно a+ba⋅h=408⋅16=516.
