Деталью некоторого прибора является… — Задачи с прикладным содержанием — ЕГЭ

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой

m=11

кг и радиусом

R=4

см и двух боковых с массами

M=6

кг и с радиусами

R+h

. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг

\cdot

см

^2

, даётся формулой

I=\dfrac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2)

.

При каком максимальном значении

h

момент инерции катушки не превышает предельного значения

472

кг

\cdot

см

^2

? Ответ дайте в сантиметрах.

По условию

I\leqslant 472.

Подставим в формулу из условия известные значения

I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2) = \frac{(11+2\cdot6)\cdot4^2}{2}+6(2\cdot4h+h^2) \leqslant 472; \\ 6h^2+48h+184\leqslant 472; \\ 6h^2+48h-288\leqslant 0; \\ h^2+8h-48\leqslant 0.

Найдём корни уравнения

h^2+8h-48=0. \\ D=8^2-4\cdot1\cdot(-48)=64+192=256. \\ h_{1,2}=\frac{-8\pm16}{2}, \\ h_1=-12,\qquad h_2=4.

Неравенство принимает вид

(h+12)(h-4)\leqslant 0.

Решим его методом интервалов:

Максимальное значение

h

, удовлетворяющее условию, равно

4

.

Ответ:

4

m=11