Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 31.01.2024

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}\left(4x^2+3a^2+40x-12a+112\right)\left((x-1)^2+(a-4)^2-4\right)=0,\\(x+2)^2+(a+2)^2=25\end{cases}

имеет ровно одно решение.

Решение

Рассмотрим систему

\begin{cases}\left(4x^2+3a^2+40x-12a+112\right)\left((x-1)^2+(a-4)^2-4\right)=0,\\(x+2)^2+(a+2)^2=25\end{cases}

Так как произведение равно нулю, это равносильно такой системе:

\begin{cases}\left[\begin{array}{l}4x^2+3a^2+40x-12a+112=0,\\[6pt](x-1)^2+(a-4)^2=4\end{array}\right.\\[10pt](x+2)^2+(a+2)^2=25.\end{cases}

Уравнение

(x-1)^2+(a-4)^2=4

задает окружность с центром

O_1(1;4)

и радиусом

R_1=2

.

Уравнение

(x+2)^2+(a+2)^2=25

задает окружность с центром

O_2(-2;-2)

и радиусом

R_2=5

.

Теперь рассмотрим уравнение

4x^2+3a^2+40x-12a+112=0.

Преобразуем его:

4x^2+40x+3a^2-12a+112=0, \\4(x^2+10x+25)+3(a^2-4a+4)=0,\\4(x+5)^2+3(a-2)^2=0.

Сумма неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому

x=-5,\qquad a=2.

Значит, это уравнение задаёт единственную точку

A(-5;2)

.

Построим в плоскости

xOa

:

\img{0}

Найдём

B

C

--- точки пересечения этих окружностей.

\left\{\begin{array}{l}x^2-2x+1+a^2-8a+16=4,\\[4pt]x^2+4x+4+a^2+4a+4=25.\end{array}\right.

Вычтем первое уравнение из второго:

6x+12a-9=21,\\x+2a=5,\\x=5-2a.

Подставим в первое уравнение:

(5-2a-1)^2+(a-4)^2=4.\\16-16a+4a^2+a^2-8a+16=4.\\5a^2-24a+28=0.\\a=2,\qquad a=\frac{14}{5}.

Если

a=2

, то

x=5-2\cdot2=1.

Получаем точку

B(1;2).

Если

a=\dfrac{14}{5}

, то

x=5-2\cdot\frac{14}{5}=5-\frac{28}{5}=-\frac35.

Получаем точку

C\left(-\dfrac35;\dfrac{14}{5}\right).

Теперь выясним, при каких значениях параметра

a

исходная система имеет ровно одно решение.

На прямой

a=2

лежат две точки:

A(-5;2)\quad \text{и} \quad B(1;2).

На прямой

a=\dfrac{14}{5}

лежит только одна точка:

C\left(-\frac35;\frac{14}{5}\right).

Ответ:

\dfrac{14}{5}

Похожие задачи