Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(4x2+3a2+40x−12a+112)((x−1)2+(a−4)2−4)=0,(x+2)2+(a+2)2=25 имеет ровно одно решение.
Решение
Рассмотрим систему
{(4x2+3a2+40x−12a+112)((x−1)2+(a−4)2−4)=0,(x+2)2+(a+2)2=25 Так как произведение равно нулю, это равносильно такой системе:
⎩⎨⎧[4x2+3a2+40x−12a+112=0,(x−1)2+(a−4)2=4(x+2)2+(a+2)2=25. Уравнение (x−1)2+(a−4)2=4 задает окружность с центром O1(1;4) и радиусом R1=2.
Уравнение (x+2)2+(a+2)2=25 задает окружность с центром O2(−2;−2) и радиусом R2=5.
Теперь рассмотрим уравнение
4x2+3a2+40x−12a+112=0. Преобразуем его:
4x2+40x+3a2−12a+112=0,4(x2+10x+25)+3(a2−4a+4)=0,4(x+5)2+3(a−2)2=0. Сумма неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому
x=−5,a=2.
Значит, это уравнение задаёт единственную точку A(−5;2).
Построим в плоскости xOa:
\img{0}
Найдём B и C --- точки пересечения этих окружностей.
{x2−2x+1+a2−8a+16=4,x2+4x+4+a2+4a+4=25. Вычтем первое уравнение из второго:
6x+12a−9=21,x+2a=5,x=5−2a. Подставим в первое уравнение:
(5−2a−1)2+(a−4)2=4.16−16a+4a2+a2−8a+16=4.5a2−24a+28=0.a=2,a=514. Если a=2, то
x=5−2⋅2=1. Получаем точку B(1;2).
Если a=514, то
x=5−2⋅514=5−528=−53. Получаем точку C(−53;514).
Теперь выясним, при каких значениях параметра a исходная система имеет ровно одно решение.
На прямой a=2 лежат две точки:
A(−5;2)иB(1;2). На прямой a=514 лежит только одна точка:
C(−53;514). Ответ: 514.
