Логарифмические неравенства с переменным основанием — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваФИПИЕГЭ 2026 (досрок)

Решите неравенство

\log_{49}(x + 4) + \log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} \leqslant-\frac{3}{4}.

Решение

Найдём ОДЗ:

\begin{cases} x + 4 > 0,\\ x^2 + 8x + 16 > 0,\\ x^2 + 8x + 16 \neq 1; \end{cases} \Leftrightarrow\; \begin{cases} x + 4 > 0,\\ (x + 4)^2 > 0,\\ x^2 + 8x + 15 \neq 0; \end{cases} \Leftrightarrow\; \begin{cases} x + 4 > 0,\\ x \neq -5,\\ x \neq -3; \end{cases} \Leftrightarrow\;

\Leftrightarrow\; x \in (-4; -3)\cup (-3; +\infty).

Преобразуем логарифмы к основанию 7:

\log_{49}(x + 4) = \log_{7^2}(x + 4) = \frac{1}{2}\log_7(x + 4);

\log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} = \log_{(x+4)^2} 7^{1/2} = \frac{\dfrac{1}{2}\log_7 7}{\log_7 (x+4)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7|x+4|}.

Так как

x > -4

, то

\dfrac{1}{4\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7(x+4)}.

Таким образом, неравенство принимает следующий вид:

\frac{1}{2}\log_7(x + 4) + \frac{1}{4\log_7(x+4)} \leqslant-\frac{3}{4}.

Сделаем замену

\log_7(x+4) = t

\frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} \leqslant -\frac{3}{4};

\frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} + \frac{3}{4} \leqslant 0;

\frac{2t^2 + 1 + 3t}{4t} \leqslant 0;

\frac{2t^2 + 3t + 1}{4t} \leqslant 0;

\frac{(t+1)(2t+1)}{4t} \leqslant 0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 1$

Получаем:

t \in (-\infty; -1] \cup \left[-\frac{1}{2}; 0\right).

Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:

\left[ \begin{array}{l} \log_7 (x + 4) \leqslant -1, \\[2mm] -\dfrac{1}{2} \leqslant\log_7(x+4) < 0; \end{array} \right. \;\Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 0 < x+4 \leqslant 7^{-1}, \\ 7^{-1/2} \leqslant x+4 < 1; \end{array} \right. \;\Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} -4 < x \leqslant -4 + \dfrac{1}{7}, \\[2mm] -4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}} \leqslant x < -3; \end{array} \right. \;\Rightarrow\;

\;\Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 4 < x \leqslant-\dfrac{27}{7}, \\[2.5mm] -4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}} \leqslant x < -3. \end{array} \right.

С учётом ОДЗ получаем:

\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right)

$Изображение 2$

Ответ:

\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right)