Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

НеравенстваФИПИЕГЭ 2026 (досрок)
Решите неравенство
log⁡49(x+4)+log⁡(x2+8x+16)7⩽−34.\log_{49}(x + 4) + \log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} \leqslant-\frac{3}{4}.log49​(x+4)+log(x2+8x+16)​7​⩽−43​.

Решение

Найдём ОДЗ:
{x+4>0,x2+8x+16>0,x2+8x+16≠1;⇔  {x+4>0,(x+4)2>0,x2+8x+15≠0;⇔  {x+4>0,x≠−5,x≠−3;⇔  \begin{cases}
x + 4 > 0,\\
x^2 + 8x + 16 > 0,\\
x^2 + 8x + 16 \neq 1;
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
x + 4 > 0,\\
(x + 4)^2 > 0,\\
x^2 + 8x + 15 \neq 0;
\end{cases}
\Leftrightarrow\;
\begin{cases}
x + 4 > 0,\\
x \neq -5,\\
x \neq -3;
\end{cases}
\Leftrightarrow\;⎩⎨⎧​x+4>0,x2+8x+16>0,x2+8x+16=1;​⇔⎩⎨⎧​x+4>0,(x+4)2>0,x2+8x+15=0;​⇔⎩⎨⎧​x+4>0,x=−5,x=−3;​⇔
⇔  x∈(−4;−3)∪(−3;+∞).\Leftrightarrow\; x \in (-4; -3)\cup (-3; +\infty).⇔x∈(−4;−3)∪(−3;+∞).

Преобразуем логарифмы к основанию 7:
log⁡49(x+4)=log⁡72(x+4)=12log⁡7(x+4);\log_{49}(x + 4) = \log_{7^2}(x + 4) = \frac{1}{2}\log_7(x + 4);log49​(x+4)=log72​(x+4)=21​log7​(x+4);
log⁡(x2+8x+16)7=log⁡(x+4)271/2=12log⁡77log⁡7(x+4)2=122log⁡7∣x+4∣=14log⁡7∣x+4∣.\log_{(x^2 + 8x + 16)} \sqrt{7} = \log_{(x+4)^2} 7^{1/2} = \frac{\dfrac{1}{2}\log_7 7}{\log_7 (x+4)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7|x+4|}.log(x2+8x+16)​7​=log(x+4)2​71/2=log7​(x+4)221​log7​7​=2log7​∣x+4∣21​​=4log7​∣x+4∣1​.
Так как x>−4x > -4x>−4, то
14log⁡7∣x+4∣=14log⁡7(x+4).\dfrac{1}{4\log_7|x+4|} = \dfrac{1}{4\log_7(x+4)}.4log7​∣x+4∣1​=4log7​(x+4)1​.
Таким образом, неравенство принимает следующий вид:
12log⁡7(x+4)+14log⁡7(x+4)⩽−34.\frac{1}{2}\log_7(x + 4) + \frac{1}{4\log_7(x+4)} \leqslant-\frac{3}{4}.21​log7​(x+4)+4log7​(x+4)1​⩽−43​.
Сделаем замену log⁡7(x+4)=t\log_7(x+4) = tlog7​(x+4)=t:
12t+14t⩽−34;\frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} \leqslant -\frac{3}{4};21​t+4t1​⩽−43​;
12t+14t+34⩽0;\frac{1}{2}t + \frac{1}{4t} + \frac{3}{4} \leqslant 0;21​t+4t1​+43​⩽0;

2t2+1+3t4t⩽0;\frac{2t^2 + 1 + 3t}{4t} \leqslant 0;4t2t2+1+3t​⩽0;
2t2+3t+14t⩽0;\frac{2t^2 + 3t + 1}{4t} \leqslant 0;4t2t2+3t+1​⩽0;
(t+1)(2t+1)4t⩽0.\frac{(t+1)(2t+1)}{4t} \leqslant 0.4t(t+1)(2t+1)​⩽0.
Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Изображение 1

Получаем:
t∈(−∞;−1]∪[−12;0).t \in (-\infty; -1] \cup \left[-\frac{1}{2}; 0\right).t∈(−∞;−1]∪[−21​;0).
Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:
[log⁡7(x+4)⩽−1,−12⩽log⁡7(x+4)<0;  ⇒  [0<x+4⩽7−1,7−1/2⩽x+4<1;  ⇒  [−4<x⩽−4+17,−4+17⩽x<−3;  ⇒  \left[
\begin{array}{l}
\log_7 (x + 4) \leqslant -1, \\[2mm]
-\dfrac{1}{2} \leqslant\log_7(x+4) < 0;
\end{array}
\right.
\;\Rightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
0 < x+4 \leqslant 7^{-1}, \\
7^{-1/2} \leqslant x+4 < 1;
\end{array}
\right.
\;\Rightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
-4 < x \leqslant -4 + \dfrac{1}{7}, \\[2mm]
-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}} \leqslant x < -3;
\end{array}
\right.
\;\Rightarrow\;​log7​(x+4)⩽−1,−21​⩽log7​(x+4)<0;​⇒[0<x+4⩽7−1,7−1/2⩽x+4<1;​⇒​−4<x⩽−4+71​,−4+7​1​⩽x<−3;​⇒
  ⇒  [4<x⩽−277,−4+17⩽x<−3.\;\Rightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
4 < x \leqslant-\dfrac{27}{7}, \\[2.5mm]
-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}} \leqslant x < -3.
\end{array}
\right.⇒​4<x⩽−727​,−4+7​1​⩽x<−3.​
С учётом ОДЗ получаем: (−4;−277]∪[−4+17;−3)\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right)(−4;−727​]∪[−4+7​1​;−3).
Изображение 2

Ответ: (−4;−277]∪[−4+17;−3)\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right] \cup \left[-4 + \dfrac{1}{\sqrt{7}};-3\right)(−4;−727​]∪[−4+7​1​;−3).