а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и (n+22)2 дают одинаковый остаток при делении на 50. б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m<50, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n2 и (n+m)2 дают одинаковый остаток при делении на 50?
Решение
а) Так числа n2 и (n+22)2 дают одинаковый остаток при делении на 50, то
(n+22)2−n2=n2+44n+484−n2=44n+484=44(n+11) должно делиться на 50.
Заметим, что n=39 подходит под это условие.
При n=39 имеем (39+22)2−392=2200 делится на 50. следовательно, числа 612 и 392 дают одинаковый остаток при делении на 50.
б) Из пункта а) получили, что
44(n+11) делится на 50, тогда n+11 должно делиться на 25. Тогда нам подойдут n=114,139,…,989. Заметим, что 989=114+25⋅35, следовательно, нам подходят 36 возможных значений n. в) Так числа n2 и (n+m)2 дают одинаковый остаток при делении на 50, то
(n+m)2−n2=n2+2nm+m2−n2=2nm+m2 должно делиться на 50. Заметим, что если m -- нечетное, то 2nm+m2 также нечетное, то есть не делится на 50. Таким образом, m -- четное.
Вынесем за скобку:
2nm+m2=2m(n+2m). Число 2m(n+2m) должно делиться на 50, следовательно, (n+2m) должно делиться либо на 5, либо на 25. Рассмотрим два случая:
1 случай
Если n+2m делится на 25:
Так как m -- двузначное чётное число, то число 2m может принмать значения 5,6,…24. Если 2m=5, тогда n+5 должно делиться на 25, то есть n может принимать значения 120,145,170…,995, таким образом получаем 36 различных вариантов. Аналогично, каждому из других значений 2m соответствует 36 различных вариантов n.
2 случай
Если n+2m и m делятся на 5:
В таком случае получаем 4 возможных значения 2m={5;10;15;20}. Если 2m=5, тогда n+5 должно делиться на 5, то есть n может принимать значения 100,105,100,…,995, таким образом получаем 180 различных вариантов. Аналогично для 2m={10;15;20} делаем вывод, что данный случай не подходит.
Таким образом, нам подходят все четные m не кратные 5, то есть числа 12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38,42,44,46,48. Всего 16 чисел.
