Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 04.02.2025

а) Приведите пример такого натурального числа

n

, что числа

n^2

(n+22)^2

дают одинаковый остаток при делении на

50

.
б) Сколько существует трёхзначных чисел

n

с указанным в пункте

а

свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел

m < 50

, для каждого из которых существует ровно

36

трёхзначных чисел

n

, таких, что

n^2

(n+m)^2

дают одинаковый остаток при делении на

50

Решение

а) Так числа

n^2

(n+22)^2

дают одинаковый остаток при делении на

50

, то

(n+22)^2 - n^2 = n^2+44n+484 - n^2 = 44n +484=44(n+11)

должно делиться на 50.
Заметим, что

n=39

подходит под это условие.

При

n=39

имеем

(39+22)^2-39^2 = 2200

делится на 50. следовательно, числа

61^2

39^2

дают одинаковый остаток при делении на 50.
б) Из пункта а) получили, что

44(n+11)

делится на

50

, тогда

n+11

должно делиться на

25

. Тогда нам подойдут

{n= 114, 139, \dots , 989}

. Заметим, что

989 = 114 + 25 \cdot 35

, следовательно, нам подходят 36 возможных значений

n

.
в) Так числа

n^2

(n+m)^2

дают одинаковый остаток при делении на

50

, то

(n+m)^2 - n^2 = n^2+2nm+m^2 - n^2 = 2nm+m^2

должно делиться на 50. Заметим, что если

m

-- нечетное, то

2nm+m^2

также нечетное, то есть не делится на

50

. Таким образом,

m

-- четное.
Вынесем за скобку:

2nm+m^2 = 2m \left(n + \dfrac{m}{2} \right).

Число

2m \left(n + \dfrac{m}{2} \right)

должно делиться на 50, следовательно,

\left(n + \dfrac{m}{2} \right)

должно делиться либо на 5, либо на 25. Рассмотрим два случая:

1 случай

Если

n + \dfrac{m}{2}

делится на 25:

Так как

m

-- двузначное чётное число, то число

\dfrac{m}{2}

может принмать значения

5, 6, \dots 24

. Если

\dfrac{m}{2}=5

, тогда

n+5

должно делиться на

25

, то есть

n

может принимать значения

120, 145, 170 \dots, 995

, таким образом получаем 36 различных вариантов. Аналогично, каждому из других значений

\dfrac{m}{2}

соответствует

36

различных вариантов

n

.

2 случай

Если

n + \dfrac{m}{2}

m

делятся на 5:

В таком случае получаем 4 возможных значения

\dfrac{m}{2}=\{5;10;15;20\}

. Если

\dfrac{m}{2}=5

, тогда

n+5

должно делиться на

5

, то есть

n

может принимать значения

100,105,100, \dots, 995

, таким образом получаем 180 различных вариантов. Аналогично для

\dfrac{m}{2} = \{10;15;20\}

делаем вывод, что данный случай не подходит.

Таким образом, нам подходят все четные

m

не кратные

5

, то есть числа

12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48

. Всего 16 чисел.

Ответ: а) 39; б) 36; в) 16.

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи