Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры100 параметров 2026ФИПИЕГЭ 2013 (резерв)
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых уравнение
∣cos⁡2x+2sin⁡x−4a∣=cos⁡2x+sin⁡x+4a|\cos ^2x+2\sin x -4a|=\cos^2x+\sin x+4a∣cos2x+2sinx−4a∣=cos2x+sinx+4a
имеет на промежутке [−π2;0)\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right)[−2π​;0) единственный корень.

Решение

Уравнение ∣f(x)∣=g(x)|f(x)|=g(x)∣f(x)∣=g(x) равносильно системе
{[f(x)=g(x),f(x)=−g(x),g(x)≥0.\begin{cases}
\left [
\begin{gathered}
f(x)=g(x), \\[1ex]
f(x)=-g(x), \\
\end{gathered} \right. \\[1ex]
g(x)\ge0.
\end{cases}⎩⎨⎧​​f(x)=g(x),f(x)=−g(x),​g(x)≥0.​
{[cos⁡2x+2sin⁡x−4a=cos⁡2x+sin⁡x+4a,cos⁡2x+2sin⁡x−4a=−cos⁡2x−sin⁡x−4a,cos⁡2x+sin⁡x+4a≥0;{[sin⁡x=8a,(1)2cos⁡2x+3sin⁡x=0,(2)1−sin⁡2x+sin⁡x+4a≥0. (∗)\begin{cases}
\left [
\begin{gathered}
\cos ^2x+2\sin x -4a=\cos^2x+\sin x+4a, \\[1ex]
\cos ^2x+2\sin x -4a=-\cos^2x-\sin x-4a, \\
\end{gathered} \right. \\[1ex]
\cos^2x+\sin x+4a\ge0;
\end{cases} \quad
\begin{cases}
\left [
\begin{gathered}
\sin x = 8a, \quad \quad (1) \\[1ex]
2\cos ^2x+3\sin x = 0, \quad \quad (2) \\
\end{gathered} \right. \\[1ex]
1-\sin^2x+\sin x+4a\ge0. \quad \, (*)
\end{cases}⎩⎨⎧​​cos2x+2sinx−4a=cos2x+sinx+4a,cos2x+2sinx−4a=−cos2x−sinx−4a,​cos2x+sinx+4a≥0;​⎩⎨⎧​​sinx=8a,(1)2cos2x+3sinx=0,(2)​1−sin2x+sinx+4a≥0.(∗)​
1 случай:
sin⁡x=8a.\sin x = 8a.sinx=8a.
Найдём, при каких aaa решение sin⁡x=8a\sin x = 8asinx=8a удовлетворяет ограничению (*):
1−64a2+8a+4a≥0,64a2−12a−1≤0.1-64a^2+8a+4a\ge0, \quad 64a^2-12a-1\le 0.1−64a2+8a+4a≥0,64a2−12a−1≤0.
D=144+256=400;D=144+256=400;D=144+256=400;
a1=12+20128=14,a2=12−20128=−116.a_1=\dfrac{12+20}{128}=\dfrac{1}{4}, \quad a_2=\dfrac{12-20}{128}=-\dfrac{1}{16}.a1​=12812+20​=41​,a2​=12812−20​=−161​.
Изображение 1

a∈[−116;14].a\in \left [ -\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4} \right].a∈[−161​;41​].
Заметим, что f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx на промежутке [−π2;0)\left [-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)[−2π​;0) принимает все значения из промежутка [−1;0)[-1;0)[−1;0) ровно по одному разу. Значит, уравнение (1) имеет на промежутке [−π2;0)\left [-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)[−2π​;0) единственное решение при
−1≤8a<0,−18≤a<0.-1\le 8a <0, \quad -\dfrac{1}{8}\le a < 0.−1≤8a<0,−81​≤a<0.
Пересекаем найденные промежутки:
Изображение 2

Изображение 3

a∈[−116;0).a\in \left [ -\dfrac{1}{16}; 0\right).a∈[−161​;0).
2 случай:
2cos⁡2x+3sin⁡x=0,2−2sin⁡2x+3sin⁡x=0,2\cos ^2x+3\sin x = 0, \quad 2-2\sin ^2x+3\sin x = 0,2cos2x+3sinx=0,2−2sin2x+3sinx=0,
t=sin⁡x,2t2−3t−2=0;t=\sin x, \quad 2t^2-3t-2=0;t=sinx,2t2−3t−2=0;
D=9+16=25;D=9+16=25;D=9+16=25;
t1=3+54=2,t2=3−54=−12.t_1=\dfrac{3+5}{4}=2, \quad t_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}.t1​=43+5​=2,t2​=43−5​=−21​.
t=2t=2t=2 не подходит, тогда sin⁡x=−12\sin x =-\dfrac{1}{2}sinx=−21​, x=−π6+2πk, x=−5π6+2πk, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}x=−6π​+2πk, x=−65π​+2πk, k∈Z.

Заметим, что промежутку [−π2;0)\left [-\dfrac{\pi}{2}; 0\right)[−2π​;0) принадлежит только x=−π6x=-\dfrac{\pi}{6}x=−6π​.
Найдём, при каких aaa x=−π6x=-\dfrac{\pi}{6}x=−6π​ удовлетворяет ограничению (*):
1−14−12+4a≥0,4a≥−14,a≥−116.1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+4a\ge0, \quad 4a \ge -\dfrac{1}{4}, \quad a\ge -\dfrac{1}{16}.1−41​−21​+4a≥0,4a≥−41​,a≥−161​.
Рассмотрим совпадение решений sin⁡x=8a\sin x = 8asinx=8a и sin⁡x=−12\sin x = -\dfrac{1}{2}sinx=−21​:
8a=−12,a=−116.8a=-\dfrac{1}{2}, \quad a=-\dfrac{1}{16}.8a=−21​,a=−161​.
Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные решения и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Изображение 4


Получаем, что ровно одно решение будет при a∈{−116}∪[0;+∞)a\in \left \{-\dfrac{1}{16}\right\} \cup [0; +\infty)a∈{−161​}∪[0;+∞).

Ответ: a∈{−116}∪[0;+∞)a\in \left \{-\dfrac{1}{16}\right\} \cup [0; +\infty)a∈{−161​}∪[0;+∞).