На плоскости Oxy графиком уравнения будет квадрат с центром (4;4) и диагоналями 2a. Графиком второго уравнения является гипербола:
xy=4:x=0,y=x4.
При увеличении a увеличивается размер квадрата.
При a=0 квадрат вырождается в точку (4;4). Она не лежит на гиперболе, так как 4⋅4=4, значит, при a=0 решений нет.
Рассматриваем a>0. Тогда и квадрат, и гипербола симметричны относительно прямой y=x.
В положении (I) квадрата две его вершины попадут на гиперболу. Возьмём нижнюю вершину (4;4−a), её координаты удовлетворяют уравнению xy=4, значит:
4⋅(4−a)=4,4−a=1,a=3. В положениях (II) и (III) нижняя левая сторона квадрата касается гиперболы, то есть xy=4 и y=8−x−a имеют одну общую точку:
x(8−x−a)−4=0,−x2+(8−a)x−4=0,x2+(a−8)x+4=0; D=(a−8)2−16=(a−12)(a−4); D=0,(a−12)(a−4)=0; a=12,a=4. При a=12: xкас=2−(a−8)=2−(12−8)=−2,yкас=−2. Тогда a=12 задаёт положение (III), при котором система имеет 3 решения.
При a=4: xкас=2−(a−8)=2−(4−8)=2,yкас=2. Значит, a=4 задаёт положение (II), при котором система имеет 3 решения.
Между положениями (I) и (II) -- 4 решения.
Между положениями (II) и (\MakeUppercase{\romannumeral 3}) -- 2 решения.
После положения (III) -- 4 решения. Следовательно, система имеет ровно два решения при a∈{3}∪(4;12). Ответ: a∈{3}∪(4;12).
