Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2024 (пересдача)

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} |x - 4| + |y - 4| = a, \\ xy = 4\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение.
Заметим, что

a\ge0

, так как слева сумма двух неотрицательных выражений.
Раскроем модули по определению:

1)

x\ge4

y\ge4

получим:

x-4+y-4=a

y=8+a-x

;
2)

x\ge4

y<4

получим:

x-4-y+4=a

y=x-a

;
3)

x<4

y\ge4

получим:

-x+4+y-4=a

y=a+x

;
4)

x<4

y<4

получим:

-x+4-y+4=a

y=8-x-a

.

На плоскости

Oxy

графиком уравнения будет квадрат с центром

(4;4)

и диагоналями

2a

.
Графиком второго уравнения является гипербола:

xy=4 \ \big | :x\not =0, \quad y=\dfrac{4}{x}.

$Изображение 1$

При увеличении

a

увеличивается размер квадрата.
При

a=0

квадрат вырождается в точку

(4;4)

. Она не лежит на гиперболе, так как

4\cdot 4 \not=4

, значит, при

a=0

решений нет.
Рассматриваем

a>0

. Тогда и квадрат, и гипербола симметричны относительно прямой

y=x

Interactive background for parameters-2026:14.4

В положении (I) квадрата две его вершины попадут на гиперболу. Возьмём нижнюю вершину

(4;4-a)

, её координаты удовлетворяют уравнению

xy=4

, значит:

4\cdot (4-a)=4, \quad 4-a=1, \quad a=3.

В положениях (II) и (III) нижняя левая сторона квадрата касается гиперболы, то есть

xy=4

y=8-x-a

имеют одну общую точку:

x(8-x-a)-4=0, \quad -x^2+(8-a)x-4=0, \quad x^2+(a-8)x+4=0;

D=(a-8)^2-16=(a-12)(a-4);

D=0, \quad (a-12)(a-4)=0;

a=12, \quad a=4.

При

a=12

x_{\text{кас}}=\dfrac{-(a-8)}{2}=\dfrac{-(12-8)}{2}=-2, \quad y_{\text{кас}}=-2.

Тогда

a=12

задаёт положение (III), при котором система имеет 3 решения.
При

a=4

x_{\text{кас}}=\dfrac{-(a-8)}{2}=\dfrac{-(4-8)}{2}=2, \quad y_{\text{кас}}=2.

Значит,

a=4

задаёт положение (II), при котором система имеет 3 решения.
Между положениями (I) и (II) -- 4 решения.
Между положениями (II) и (\MakeUppercase{\romannumeral 3}) -- 2 решения.
После положения (III) -- 4 решения. Следовательно, система имеет ровно два решения при

a\in\{3\} \cup (4;12)

.
Ответ:

a\in\{3\} \cup (4;12)

Static parameter plot for parameters-2026:14.4

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи