Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Ответ:
Решение
Пусть ребро куба равно a, тогда a3=80. Рассмотрим вершину A. Пусть плоскость проходит через середины рёбер AB и AD и параллельна ребру AA1. Она отсекает треугольную призму с основаниями AMN и A1M1N1, где M и N — середины AB и AD, а M1 и N1 — середины A1B1 и A1D1. Основание AMN — прямоугольный треугольник с катетами 2a. Значит,
SAMN=21⋅2a⋅2a=8a2. Высота призмы равна ребру куба a.
Таким образом, объём призмы равен
VAMNA1M1N1=SAMN⋅a=8a2⋅a=8a3=880=10. Ответ: 10.
