Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при которых уравнение

(2x+\ln(x+2a))^2=(2x-\ln(x+2a))^2

имеет единственный корень на отрезке [

0

;

1

Решение

Запишем ОДЗ:

x + 2a > 0\quad\Rightarrow\quad x > -2a.

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(2x + \ln(x + 2a))^2 - (2x - \ln(x + 2a))^2 = 0;\\ (2x + \ln(x + 2a) - 2x + \ln(x + 2a))\cdot (2x + \ln(x + 2a) + 2x - \ln(x + 2a)) = 0;\\ 8\ln(x + 2a)\cdot x = 0.

Полученное равенство на ОДЗ равносильно следующей совокупности:

\left[ \begin{array}{l} \ln(x + 2a) = 0, \\ x = 0, \end{array} \right. \Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x + 2a = 1, \\ x = 0, \end{array} \right. \Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = 1 - 2a, \\ x = 0. \end{array} \right.

Проанализируем полученные корни:
1) Корень

x = 1 - 2a

:

Выясним, при каких

a

данный корень принадлежит отрезку

[0; 1]

0 \leqslant x \leqslant 1;\\ 0 \leqslant 1 - 2a \leqslant 1; \\ -1 \leqslant -2a \leqslant 0;\\ 0 \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}.

Таким образом,

x = 1 - 2a

принадлежит отрезку

[0; 1]

при

a \in \left[0; \dfrac{1}{2}\right]

.
Значение

x = 1 - 2a

при всех

a

принадлежит ОДЗ.

2) Корень

x = 0

:

Данный корень всегда принадлежит отрезку

[0; 1]

.

Значение

x = 0

принадлежит ОДЗ при

a \in (0; +\infty)

.

Таким образом, на отрезке

[0; 1]

уравнение имеет единственный корень в следующих случаях:

1) Оба корня существуют и совпадают:

1 - 2a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{2}.

2) Корень

x = 0

существует, а корень

x = 1 - 2a

не принадлежит отрезку

[0; 1]

Это происходит при

a \in \left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)

.
3) Корень

x = 0

не принадлежит ОДЗ, а корень

x = 1 - 2a

лежит внутри отрезка

[0; 1]

. Это происходит при

a = 0

.

Объединяя случаи, получаем:

a \in \{0\} \cup \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right).

Ответ:

\{0\} \cup \left[\dfrac{1}{2};+\infty\right)

Похожие задачи