Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150∘. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60∘.
а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение
а) Так как (SAB)⊥(ABC) и (SBC)⊥(ABC), причём (SAB)∩(SBC)=SB, то SB⊥(ABC). Пусть BT и BQ -- высоты ромба, причём T∈CD и Q∈AD. Тогда BQ и BT -- проекции SQ и ST на (ABC) соответственно, значит, по теореме о трёх перпендикулярах SQ⊥AD и ST⊥CD. Значит, ∠BQS=∠BTS=60∘. Тогда прямоугольные треугольники SBQ и SBT равны по катету и острому углу (SB -- общая, ∠BQS=∠BTS), то есть SQ=ST.
Найдём площади треугольников SAD и SCD: SSAD=21⋅SQ⋅AD=21⋅ST⋅CD.
