Основанием пирамиды SABCD является ромб ABCD со стороной 6. Боковые грани SAB и SCB перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол 150∘. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60∘.
а) Докажите, что грани SAD и SCD равновеликие.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение
а) Так как (SAB)⊥(ABC) и (SBC)⊥(ABC), причём (SAB)∩(SBC)=SB, то SB⊥(ABC). Пусть BT и BQ -- высоты ромба, причём T∈CD и Q∈AD. Тогда BQ и BT -- проекции SQ и ST на (ABC) соответственно, значит, по теореме о трёх перпендикулярах SQ⊥AD и ST⊥CD. Значит, ∠BQS=∠BTS=60∘. Тогда прямоугольные треугольники SBQ и SBT равны по катету и острому углу (SB -- общая, ∠BQS=∠BTS), то есть SQ=ST.
Найдём площади треугольников SAD и SCD:SSAD=21⋅SQ⋅AD=21⋅ST⋅CD.
б) Имеем:Sбок=SSAB+SSBC+SSAD+SSDC=2(SSAD+SSBC)=2⋅21⋅(BC⋅SB+AD⋅SQ).(∗)Заметим, что ∠((SAB),(SBC))=∠ABC=150∘. Значит, ∠BAD=30∘. Из прямоугольного треугольника BAQ имеем:BQ=21⋅AB=26=3.Из прямоугольного треугольника BQS имеем:SB=BQ⋅tg60∘=33,SQ=cos60∘BQ=6.Подставим в (∗):Sбок=2⋅21(6⋅33+6⋅6)=183+36.Ответ: 183+36.
