Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 01.10.2025

Биссектрисы углов

BAD

BCD

равнобедренной трапеции

ABCD

пересекаются в точке

O

. Через точку

O

провели прямую, параллельную основаниям

BC

AD

, и пересекающую боковые стороны

AB

CD

в точках

M

N

соответственно.

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой
стороне.

б) Найдите длину основания

AD

, если

AO=CO

BC = 31

и данная прямая делит сторону

AB

в отношении

AM : MB = 4: 5

Решение

а) Так как

MN \parallel BC

, то

\angle BCO = \angle CON

как накрест лежащие, следовательно,

\triangle CON

-равнобедренный и

CN = NO

. Аналогично,

\triangle AMO

- равнобедренный и

AM = MO

.

Так как

AB = CD

AD \parallel MN \parallel BC \Rightarrow AM = ND \ и \ DM = CN

. Таким образом,

MN = MO + ON = AM + MB = AB =CD

. Что и требовалось доказать.

б)
Пусть

\angle BCO = \angle OCN = \beta

\angle OAD = \angle OAM = \varphi

\angle OAC = \angle ACO = \alpha

\angle BCA = \angle CAD \Leftrightarrow \beta - \alpha = \alpha + \varphi

как накрест лежащие. Так как

ABCD

- равнобедренная трапеция, то

\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ \Leftrightarrow 2\varphi + 2 \beta = 180^\circ;\\\varphi + \beta = 90^\circ.

Из суммы углов

\triangle ACD

\alpha + \varphi + 2\varphi + \alpha + \beta = 180^\circ;\\2\alpha + 2\varphi + 90^\circ = 180^\circ;\\\alpha + \varphi = 45^\circ = \angle CAD.

Проведём высоты

CO_2 \perp AD

OW \perp AD

, тогда

\angle ACO_2 = 90^\circ - \angle CAO_2 = 45^\circ,

тогда

\angle OCO_1 = \angle OAW = 45^\circ - \alpha

.
Также по теореме Фалеса для

\angle O_2CD

O_1N \parallel O_2D

\dfrac{CN}{ND}= \dfrac{CO_1}{O_1O_2}=\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow CO_1 =5h, \ O_1O_2 = 4h.

Так как

MN \parallel AD

OW \perp AD

O_1O_2 \perp AD

, то

OW =O_1O_2 = 4h

. \\
Заметим, что

\triangle AOW = \triangle OCO_1

по гипотенузе и острому углу, тогда

OO_1 = OW =4h

AW = CO_1 = 5h

. Также заметим, что

OO_1O_2W

- квадрат, так как

OW=OO_1=OO_2 = 4h

и все углы прямые, следовательно,

WO_2 =4h

. \\
Рассмотрим равнобедренный

\triangle NOC

, пусть

\angle CON = \angle OCN = \gamma

, тогда

\angle CNO = 180^\circ - 2\gamma

. Из прямоугольного треугольника

COO_1

\tg \angle COO_1 = \tg \gamma = \frac{5}{4},

тогда

\tg (180^\circ -2 \gamma ) = -\tg 2\gamma = -\dfrac{2\tg \gamma}{1- \tg^2 \gamma } = -\dfrac{2 \cdot \frac{5}{4}}{1 - (\frac{5}{4})^2}= - \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{9}{16}} = \dfrac{40}{9}.

С другой стороны

\tg \angle ONC = \dfrac{CO_1}{O_1N} = \dfrac{5h}{O_1N} = \dfrac{40}{9};

O_1N = \dfrac{9}{8}h

Из подобия треугольников

CO_1N

CO_2D

\dfrac{O_1N}{O_2D} = \dfrac{CN}{CD} = \dfrac{5}{9} \Rightarrow O_2D = \dfrac{9}{5}O_1N = \dfrac{81}{40}h.

По свойству равнобедренной трапеции:

\begin{cases} \dfrac{BC+AD}{2} = AO_2, \\ \dfrac{AD-BC}{2} = DO_2. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{31+AD}{2} = 9h \\ \dfrac{AD-31}{2} = \dfrac{81}{40}h. \end{cases}

Решая полученную систему, находим

AD = 49

Другой способ решения пункта б)
Проведём

OT \perp AD

CW \perp AD

, тогда

\angle OCK = 90^\circ - (90^\circ - x) = x

, следовательно,

\triangle AOT = \triangle OCK

по гипотенузе и острому углу.

\triangle CKN \sim \triangle CWD \Rightarrow \dfrac{ CK}{CW}= \dfrac{CN}{CD}= \dfrac{5}{9} \Rightarrow CK = 5h, \ CW = 9h, \ KW = OT = 4h.

Из равенства

\triangle AOT

\triangle OCK

следует, что

OT = OK = 4h = TW

AT = CK =5h

.
Рассмотрим равнобедренный

\triangle NOC

\angle CNO = 180^\circ - 2(90^\circ - x)= 2x

. Из прямоугольного треугольника

COK

\tg x = \dfrac{OK}{KC} = \frac{4}{5},

тогда

\tg 2x = \dfrac{2\tg x}{1- \tg^2 x } = \dfrac{2 \cdot \frac{4}{5}}{1 - (\frac{4}{5})^2}= \frac{\frac{8}{5}}{\frac{9}{25}} = \dfrac{40}{9}.

С другой стороны

\tg 2x = \dfrac{KC}{KN} = \dfrac{5h}{KN} = \dfrac{40}{9} \Rightarrow KN = \dfrac{9}{8}h.

Из подобия

\triangle CKN

\triangle CWD

\dfrac{KN}{WD}= \dfrac{5}{9} \Rightarrow WD = \dfrac{9}{5}KN = \dfrac{81}{40}h.

По свойству равнобедренной трапеции:

\begin{cases} \dfrac{BC+AD}{2} = AO_2, \\ \dfrac{AD-BC}{2} = DO_2. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{31+AD}{2} = 9h \\ \dfrac{AD-31}{2} = \dfrac{81}{40}h. \end{cases}

Решая полученную систему, находим

AD = 49

Ответ: б)

49

Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи