Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD, и пересекающую боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой
стороне.
б) Найдите длину основания AD, если AO=CO,BC=31 и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=4:5.
Решение
а) Так как MN∥BC, то ∠BCO=∠CON как накрест лежащие, следовательно, △CON -равнобедренный и CN=NO. Аналогично, △AMO - равнобедренный и AM=MO.
Так как AB=CD и AD∥MN∥BC⇒AM=NDиDM=CN. Таким образом, MN=MO+ON=AM+MB=AB=CD. Что и требовалось доказать.
б)
Пусть ∠BCO=∠OCN=β,∠OAD=∠OAM=φ,∠OAC=∠ACO=α.∠BCA=∠CAD⇔β−α=α+φ как накрест лежащие. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то
∠BAD+∠BCD=180∘⇔2φ+2β=180∘;φ+β=90∘. Из суммы углов △ACD: α+φ+2φ+α+β=180∘;2α+2φ+90∘=180∘;α+φ=45∘=∠CAD. Проведём высоты CO2⊥AD и OW⊥AD, тогда ∠ACO2=90∘−∠CAO2=45∘, тогда ∠OCO1=∠OAW=45∘−α. Также по теореме Фалеса для ∠O2CD и O1N∥O2D: NDCN=O1O2CO1=45⇔CO1=5h,O1O2=4h. Так как MN∥AD,OW⊥AD и O1O2⊥AD, то OW=O1O2=4h. \\
Заметим, что △AOW=△OCO1 по гипотенузе и острому углу, тогда OO1=OW=4h и AW=CO1=5h. Также заметим, что OO1O2W - квадрат, так как OW=OO1=OO2=4h и все углы прямые, следовательно, WO2=4h. \\
Рассмотрим равнобедренный △NOC, пусть ∠CON=∠OCN=γ, тогда ∠CNO=180∘−2γ. Из прямоугольного треугольника COO1: tg∠COO1=tgγ=45, тогда
tg(180∘−2γ)=−tg2γ=−1−tg2γ2tgγ=−1−(45)22⋅45=−−16925=940. С другой стороны
tg∠ONC=O1NCO1=O1N5h=940; O1N=89h Из подобия треугольников CO1N и CO2D: O2DO1N=CDCN=95⇒O2D=59O1N=4081h. По свойству равнобедренной трапеции:
⎩⎨⎧2BC+AD=AO2,2AD−BC=DO2.⇔⎩⎨⎧231+AD=9h2AD−31=4081h. Решая полученную систему, находим AD=49.
Другой способ решения пункта б)
Проведём OT⊥AD и CW⊥AD, тогда ∠OCK=90∘−(90∘−x)=x, следовательно, △AOT=△OCK по гипотенузе и острому углу.
△CKN∼△CWD⇒CWCK=CDCN=95⇒CK=5h,CW=9h,KW=OT=4h. Из равенства △AOT и △OCK следует, что OT=OK=4h=TW и AT=CK=5h. Рассмотрим равнобедренный △NOC:∠CNO=180∘−2(90∘−x)=2x. Из прямоугольного треугольника COK: tgx=KCOK=54, тогда
tg2x=1−tg2x2tgx=1−(54)22⋅54=25958=940. С другой стороны
tg2x=KNKC=KN5h=940⇒KN=89h. Из подобия △CKN и △CWD: WDKN=95⇒WD=59KN=4081h. По свойству равнобедренной трапеции:
⎩⎨⎧2BC+AD=AO2,2AD−BC=DO2.⇔⎩⎨⎧231+AD=9h2AD−31=4081h. Решая полученную систему, находим AD=49.
