Постройте график функции y=−x−1x3+−x−1x2+−x−14x+−x−14. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение
Функция определена при x=−1.
Преобразуем выражение, сокращая общий множитель: y=−x2−4,x=−1. Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.
Найдём координаты выколотой точки: (−1;−5).
Вершина параболы y=−x2−4:(0;−4).
Таблица значений для y=−x2−4 (с учетом выколотых точек):
x:−3,−2,−1,0,1,2,3 y:−13,−8,−5,−4,−5,−8,−13
График функции:
Прямая y=kx проходит через начало координат. Исследуем количество общих точек этой прямой с графиком функции.
Подберём k таким образом, чтобы график y=kx проходил через выколотую точку (−1;−5). −5=k⋅−1; k=5. Кроме этого, прямая y=kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения k. −x2−4=kx; −kx−x2−4=0. Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю: D=k2−16=0; k=−4илиk=4. Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы. Следовательно, k∈{−4}∪{4}∪{5}.
