Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}(xy-2x+12)\cdot\sqrt{y-2 x+12}=0, \\y=3 x + a\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

(xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0\;\Leftrightarrow\;\left[ \begin{array}{l} xy - 2x + 12 = 0, \\ \sqrt{y - 2x + 12} = 0, \end{array}\right.\;\Leftrightarrow\; \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} xy - 2x + 12 = 0,\\ y - 2x + 12 = 0, \end{array} \right.\\ y - 2x + 12 \geqslant 0.\\ \end{cases}

Имеем:
1)

xy - 2x + 12 = 0\quad\Rightarrow\quad y = 2 - \dfrac{12}{x}. \quad (*)

Это уравнение задаёт гиперболу с асимптотами

x = 0

y = 2

.
2) Уравнение

y = 2x - 12

задаёт прямую, проходящую через точку

(6; 0)

, с угловым коэффициентом

2

. Неравенство

y \geqslant 2x - 12

задаёт полуплоскость выше прямой

y = 2x - 12

, включая границу.
3) Уравнение

y = 3x + a

множество параллельных прямых с угловым коэффициентом

3

.

Если выполнено уравнение

y = 2x - 12

, то условие

y \geqslant 2x - 12

выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = y = 2 - \dfrac{12}{x},\\[1.5mm] y = 3x + a,\\ y \geqslant 2x - 12; \end{cases} \quad\quad(1) \\ &\begin{cases} y = 2x - 12,\\ y = 3x + a. \end{cases} \quad\quad\quad\;\;(2) \end{aligned} \right.

Рассмотрим систему (2). Прямые

y = 2x - 12

y = 3x + a

пересекаются при всех

a

, то есть она всегда имеет ровно

1

решение.

Найдём пересечение прямой

y = 2x - 12

и гиперболы

y = 2 - \dfrac{12}{x}

2x - 12 = 2 - \dfrac{12}{x}\quad\Rightarrow\quad 2x^2 - 12x = 2x - 12\quad\Rightarrow\quad x^2 - 7x + 6 = 0.

По теореме Виета получаем:

x_1 = 1,\quad x_2 = 6.

При

x_1 = 1

получаем

y_1 = -10

. При

x_2 = 6

получаем

y_2 = 0

. Следовательно, пересечение происходит в точках

(1; -10)

(6; 0)

(I) и (II) Найдем значения параметра

a

, при которых прямая

y = 3x + a

имеет одну точку пересечения с гиперболой

(*)

, то есть касается её:

x(3x + a) - 2x + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^2 + (a-2)x + 12 = 0;\\ D = (a-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad (a-2)^2 - 144 = 0 \quad\Rightarrow\quad (a - 14)(a + 10) = 0;

Таким образом, касание происходит при

a = 14

a = -10

.

(III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(1; -10)

-10 = 3\cdot 1 + a\quad \Rightarrow\quad a = -13.

(IV) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = 3x + a

проходит через точку

(6; 0)

-0 = 3\cdot 6 + a\quad \Rightarrow\quad a = -18.

Итого, получаем:
1) при

a\in (-10; 14)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in (-18; -13] \cup \{-10; 14\}

имеет

2

решения;
3) при

a \in (-13;-10)\cup (14;+\infty)

имеет

3

решения.

Ответ:

(-18; -13] \cup \{-10; 14\}

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи