Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(xy−2x+12)⋅y−2x+12=0,y=3x+a имеет ровно два различных решения.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы:
(xy−2x+12)⋅y−2x+12=0⇔[xy−2x+12=0,y−2x+12=0,⇔⎩⎨⎧[xy−2x+12=0,y−2x+12=0,y−2x+12⩾0. Имеем:
1)
xy−2x+12=0⇒y=2−x12.(∗) Это уравнение задаёт гиперболу с асимптотами x=0 и y=2. 2) Уравнение y=2x−12 задаёт прямую, проходящую через точку (6;0), с угловым коэффициентом 2. Неравенство y⩾2x−12 задаёт полуплоскость выше прямой y=2x−12, включая границу.
3) Уравнение y=3x+a множество параллельных прямых с угловым коэффициентом 3.
Если выполнено уравнение y=2x−12, то условие y⩾2x−12 выполняется автоматически. Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:
⎩⎨⎧y=y=2−x12,y=3x+a,y⩾2x−12;(1){y=2x−12,y=3x+a.(2) Рассмотрим систему (2). Прямые y=2x−12 и y=3x+a пересекаются при всех a, то есть она всегда имеет ровно 1 решение.
Найдём пересечение прямой y=2x−12 и гиперболы y=2−x12: 2x−12=2−x12⇒2x2−12x=2x−12⇒x2−7x+6=0. По теореме Виета получаем:
x1=1,x2=6. При x1=1 получаем y1=−10. При x2=6 получаем y2=0. Следовательно, пересечение происходит в точках (1;−10) и (6;0).
(I) и (II) Найдем значения параметра a, при которых прямая y=3x+a имеет одну точку пересечения с гиперболой (∗), то есть касается её:
x(3x+a)−2x+12=0⇒3x2+(a−2)x+12=0;D=(a−2)2−4⋅3⋅12=0⇒(a−2)2−144=0⇒(a−14)(a+10)=0; Таким образом, касание происходит при a=14 и a=−10.
(III) Найдём значение a, при котором прямая y=3x+a проходит через точку (1;−10): −10=3⋅1+a⇒a=−13. (IV) Найдём значение a, при котором прямая y=3x+a проходит через точку (6;0): −0=3⋅6+a⇒a=−18. Итого, получаем:
1) при a∈(−10;14) система имеет 1 решение;
2) при a∈(−18;−13]∪{−10;14} имеет 2 решения;
3) при a∈(−13;−10)∪(14;+∞) имеет 3 решения.
