В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25,14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Ответ:
Решение
Радиус вписанной окружности равен расстоянию от O до прямой AC, то есть r=7. Расстояние от O до прямой AD равно 14. Так как AD∥BC, высота параллелограмма равна h=14+7=21. Пусть окружность касается AC в точке K. В прямоугольном треугольнике AOK AK=AO2−OK2=252−72=24. По равенству касательных из одной точки полупериметр треугольника ABC равен p=BC+AK=BC+24. Площадь треугольника ABC равна одновременно r(BC+AK) и 21BC⋅h. Следовательно, 7(BC+24)=221BC, откуда BC=48. Тогда площадь параллелограмма S=BC⋅h=48⋅21=1008.
