Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое число n, что 2n+S(n)=2026? б) Существует ли такое число n, что 4n+S(n)=2026? в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n, что 9kn+S(n)=10542?
Решение
а) Проверим, может ли 2n+S(n)=2026:
Заметим, что n≤1013, иначе 2n+S(n)>2⋅n=2⋅1014=2028.
Пусть n=1000a+100b+10c+d и S(n)=a+b+c+d, тогда
2n+S(n)=2⋅(1000a+100b+10c+d)+a+b+c+d==2001a+201b+21c+3d=3⋅(667a+67b+7c+d) Таким образом 2n+S(n) должно делится на 3, но 2026 не делится нацело на 3, следовательно, равенство невозможно.
б) Проверим, может ли 4n+S(n)=2026:
Заметим, что n≤506, иначе 4n+S(n)≥4⋅n=4⋅507=2028.
Пусть n=100a+10b+c и S(n)=a+b+c, тогда
4n+S(n)=4⋅(100a+10b+c)+a+b+c=401a+41b+5c Заметим, что a<6, иначе 401a+41b+5c≥401a=401⋅6=2406>2026, возьмём a=5, тогда
401a+41b+5c=2005+41b+5c=2026; 41b+5c=21⇒b=0иc=521∈/Z. При a=4: 401a+41b+5c=1604+41b+5c=2026; 41b+5c=422; Но 41b+5c≤41⋅9+5⋅9=414<422 - противоречие.
в) n - двузначное, то есть n=10a+b,a=0, тогда
9k⋅(10a+b)+a+b=10542 Также заметим, что n и S(n) дают одинаковые остатки при делении на 9. 9nk делится на 9, 10542 даёт остаток 3 при делении на 9, следовательно, S(n)=a+b должно давать остаток 3 при делении на 9, S(n)=3 или S(n)=12.
1) S(n)=a+b=3: 9k(10a+b)+3=10542;9k(10a+b)=10539;k(10a+b)=1171 Заметим, что число 1171 простое, значит такой случай невозможен.
2) S(n)=a+b=12: 9k(10a+b)+12=10542;9k(10a+b)=10530;k(10a+b)=1170; так как a+b=12, то
k(9a+12)=1170;k(3a+4)=390. При a=1,k=7390∈/Z. При a=2,k=39. При a=3,k=30. Дальнейшим перебором убеждаемся, что другие значения a не подходят, а значит минимальное значение k равно 30.
