a) Решите уравнение sin x -√(2)cos(π2-x2)=0.… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

УравненияЕГКР 07.04.2026

a) Решите уравнение

\sin x -\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[4\pi; 7\pi \right]

Решение

а) Применяем формулу приведения, а также представляем

\sin x

как

\sin \left(2\cdot \dfrac{x}{2}\right)

и используем формулу двойного аргумента:

2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} -\sqrt{2} \sin \dfrac{x}{2}=0;

\sin \dfrac{x}{2}\left(2\cos \dfrac{x}{2} -\sqrt{2}\right)=0;

\left [ \begin{gathered} \sin \dfrac{x}{2}=0, \\ 2\cos \dfrac{x}{2} -\sqrt{2}=0; \end{gathered} \right. \; \left [ \begin{gathered} \sin \dfrac{x}{2}=0, \\ \cos \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \end{gathered} \right. \; \left [ \begin{gathered} \dfrac{x}{2}=\pi k, \ k\in \mathbb{Z}, \\ \dfrac{x}{2}=\pm \dfrac{\pi}{4} +2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}; \end{gathered} \right. \; \left [ \begin{gathered} x=2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}, \\[1ex] x=\pm \dfrac{\pi}{2} +4\pi k, \ k\in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств:

$Изображение 1$

Ответ: а)

2\pi k, \ \pm\dfrac{\pi}{2} +4\pi k, \ k\in \mathbb{Z}

; \ \ б)

4\pi, \ \dfrac{9\pi}{2}, \ 6\pi