log_2(16x) - 2/log_2 x + 1·( log_2^2 x +… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

НеравенстваЕГКР 25.03.2025

\frac{\log_2(16x) - 2}{\log_2 x + 1} \cdot \left( \log_2^2 x + \log_2(8x) - 3 \right) \leqslant 0.

Решение

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов:

\frac{\log_2{16} + \log_2x - 2}{\log_2 x + 1} \cdot \left( \log_2^2 x + \log_2{8} + \log_2x - 3 \right) \leqslant 0;

\frac{\log_2x + 2}{\log_2 x + 1} \cdot \left( \log_2^2 x + \log_2x \right) \leqslant 0;

\frac{(\log_2x + 2)\cdot\log_2x \cdot (\log_2 x + 1)}{\log_2 x + 1} \leqslant 0;

\begin{cases} (\log_2x + 2)\cdot\log_2x\leqslant 0, \\ \log_2 x + 1 \neq 0; \end{cases} \quad \begin{cases} (\log_2x + 2)\cdot\log_2x\leqslant 0, \\ x \neq 0{,}5; \end{cases}

\begin{cases} (\log_2x - \log_2 {0{,}25})\cdot(\log_2x - \log_21)\leqslant 0, \\ x \neq 0,5. \end{cases}

Учитывая, что

2 > 1

, воспользуемся методом рационализации:

\begin{cases} (x - 0{,}25)(x - 1) \leqslant 0, \\ x > 0, \\ x \neq 0{,}5. \end{cases}

Решим полученную систему методом интервалов:

Значит,

x \in [0{,}25; 0{,}5) \cup (0{,}5; 1]

.

Ответ:

[0{,}25; 0{,}5) \cup (0{,}5; 1]