Перенесём дробь из левой части неравенства в правую:
x2−4xx2−5x+4+2−x+38≥0. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
x2−5x+4=(x−1)(x−4),x2−4x=x(x−4). Тогда первая слагаемое примет вид:
x(x−4)(x−1)(x−4)=xx−1. Таким образом неравенство равносильно следующей системе:
⎩⎨⎧xx−1+2−x+38≥0,x=4. Рассмотрим первое неравенство системы. Приводим к общему знаменателю:
x(x+3)(x−1)(x+3)+2x(x+3)−8x≥0; x(x+3)x2+3x−x−3+2x2+6x−8x≥0; x(x+3)3x2−3≥0; x(x+3)(x−1)(x+1)≥0. Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
С учётом x=4 получаем итоговый ответ
x∈(−∞;−3)∪[−1;0)∪[1;4)∪(4;+∞). Ответ: (−∞;−3)∪[−1;0)∪[1;4)∪(4;+∞).
