Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
a2+x2=cos2x+a2+2a−1 имеет единственное решение.
Решение
Заметим, что y=a2+x2 и y=cos2x -- чётные функции,
значит, если x0 -- корень уравнения, то и −x0 -- корень.
Для того, чтобы корень был единственным, нужно чтобы
x0=−x0, то есть x0=0. Найдём при каких a является корнем уравнения x=0: a2+02=cos(2⋅0)+a2+2a−1;a2=1+a2+2a−1;∣a∣=a2+2a. Если a≥0, то ∣a∣=a, тогда a=a2+2a,a2+a=0,a(a+1)=0,a=0,a=−1.
С учётом a≥0 получаем a=0.
Если a<0, то ∣a∣=−a, тогда −a=a2+2a,a2+3a=0,a=0 или a=−3.
С учётом a<0 получаем a=−3.
Итак, при a=0 и при a=−3 корнем уравнения является x=0. Проверим, единственный ли это корень.
I. a=0: 02+x2=cos2x+02+2⋅0−1;∣x∣=cos2x−1;∣x∣+1=cos2x. Левая часть полученного уравнения не меньше 1,
а правая принимает значения из отрезка [−1;1]. Равны они могут быть только если обе части равны 1.
Получим {∣x∣+1=1,cos2x=1;{x=0,cos(2⋅0)=1, x=0 -- единственное решение, a=0 подходит.
II. a=−3: (−3)2+x2=cos2x+(−3)2+2⋅(−3)−1,x2+9=cos2x+2. x2+9≥3,cos2x+2∈[1;3], следовательно, равенство возможно только если обе части одновременно равны 3.
Получим:
{x2+9=3,cos2x+2=3;{x2+9=9,cos2x=1;{x=0,cos(2⋅0)=1, x=0 -- единственный корень, значит a=−3 подходит.
