Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Логарифмические неравенства
Задача
Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
СтатГрад 11.02.2025
Скопировать ссылку
85c499e0
Решите неравенство
log
3
(
3
−
x
)
−
log
3
(
x
+
1
)
log
3
2
x
2
+
log
3
x
4
+
1
≥
0
\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+1)}{\log_3^2x^2+\log_3 x^4+1} \geq 0
lo
g
3
2
x
2
+
lo
g
3
x
4
+
1
lo
g
3
(
3
−
x
)
−
lo
g
3
(
x
+
1
)
≥
0
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Запишем ограничения:
{
3
−
x
>
0
,
x
+
1
>
0
,
x
2
>
0.
⇔
x
∈
(
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
3
)
.
\begin{cases}
3-x> 0, \\
x+1 >0 , \\
x^2 >0.
\end{cases}
\Leftrightarrow \quad
x \in (-1;0) \cup (0;3).
⎩
⎨
⎧
3
−
x
>
0
,
x
+
1
>
0
,
x
2
>
0.
⇔
x
∈
(
−
1
;
0
)
∪
(
0
;
3
)
.
Преобразуем знаменатель:
log
3
2
x
2
+
log
3
x
4
+
1
=
log
3
2
x
2
+
2
log
3
x
2
+
1
=
(
log
3
x
2
+
1
)
2
≥
0.
\log^2_3 x^2 + \log_3x^4+1 = \log^2_3 x^2 + 2\log_3x^2+1= (\log_3 x^2+1)^2 \geq 0.
lo
g
3
2
x
2
+
lo
g
3
x
4
+
1
=
lo
g
3
2
x
2
+
2
lo
g
3
x
2
+
1
=
(
lo
g
3
x
2
+
1
)
2
≥
0.
Найдём нули знаменателя:
(
log
3
x
2
+
1
)
2
=
0
;
(\log_3 x^2+1)^2 =0;
(
lo
g
3
x
2
+
1
)
2
=
0
;
log
3
x
2
=
−
1
;
\log_3 x^2= -1;
lo
g
3
x
2
=
−
1
;
x
2
=
3
−
1
=
1
3
;
x^2 = 3^{-1}=\dfrac{1}{3};
x
2
=
3
−
1
=
3
1
;
x
=
±
1
3
.
x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.
x
=
±
3
1
.
Тогда наше неравенство равносильно следующей системе:
{
log
3
(
3
−
x
)
−
log
3
(
x
+
1
)
≥
0
,
x
≠
±
1
3
,
x
≠
0.
\begin{cases}
\log_3(3-x) - \log_3(x+1) \geq 0, \\
x \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \\
x \neq 0.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
lo
g
3
(
3
−
x
)
−
lo
g
3
(
x
+
1
)
≥
0
,
x
=
±
3
1
,
x
=
0.
{
3
−
x
≥
x
+
1
,
x
≠
±
1
3
,
x
≠
0.
\begin{cases}
3-x \geq x+1, \\
x \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \\
x \neq 0.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
3
−
x
≥
x
+
1
,
x
=
±
3
1
,
x
=
0.
{
x
≤
2
,
x
≠
±
1
3
,
x
≠
0.
\begin{cases}
x \leq 2, \\
x \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \\
x \neq 0.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
≤
2
,
x
=
±
3
1
,
x
=
0.
С учётом ограничений получаем окончательный ответ:
x
∈
(
−
1
;
−
1
3
)
∪
(
−
1
3
;
0
)
∪
(
0
;
1
3
)
∪
(
1
3
;
1
]
x \in \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 1 \right]
x
∈
(
−
1
;
−
3
1
)
∪
(
−
3
1
;
0
)
∪
(
0
;
3
1
)
∪
(
3
1
;
1
]
Ответ:
x
∈
(
−
1
;
−
1
3
)
∪
(
−
1
3
;
0
)
∪
(
0
;
1
3
)
∪
(
1
3
;
1
]
x \in \left(-1; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; 1 \right]
x
∈
(
−
1
;
−
3
1
)
∪
(
−
3
1
;
0
)
∪
(
0
;
3
1
)
∪
(
3
1
;
1
]
Похожие задачи
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
3
2
(
3
x
)
−
1
log
3
(
9
x
)
+
1
log
3
x
−
4
⩽
6.
\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.
lo
g
3
(
9
x
)
lo
g
3
2
(
3
x
)
−
1
+
lo
g
3
x
−
4
1
⩽
6.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
3
log
5
(
5
+
20
x
−
5
)
⩽
9
−
2
log
0,2
(
25
−
100
x
−
1
)
.
3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).
3
lo
g
5
(
5
+
x
−
5
20
)
⩽
9
−
2
lo
g
0
,
2
(
25
−
x
−
1
100
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
2
log
3
(
x
3
)
−
log
3
(
x
1
−
x
)
⩽
log
3
(
9
x
2
+
1
x
−
4
)
.
2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).
2
lo
g
3
(
x
3
)
−
lo
g
3
(
1
−
x
x
)
⩽
lo
g
3
(
9
x
2
+
x
1
−
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
2
x
−
log
2
x
log
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
lo
g
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
lo
g
2
2
x
−
lo
g
2
x
⩾
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
