Для студентов
Для учителей
Личный кабинет
Главная
Банк задач
Логарифмические неравенства
Задача
Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
СтатГрад 22.04.2026
Скопировать ссылку
852835e8
Решите неравенство
3
log
3
(
log
3
x
)
+
3
log
3
(
3
x
)
⩽
3.
3^{\log_3(\log_3 x)} + \frac{3}{\log_3(3x)} \leqslant 3.
3
l
o
g
3
(
l
o
g
3
x
)
+
lo
g
3
(
3
x
)
3
⩽
3.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
По свойству логарифма:
log
3
(
3
x
)
=
log
3
3
+
log
3
x
=
1
+
log
3
x
\log_3 (3x) = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x
lo
g
3
(
3
x
)
=
lo
g
3
3
+
lo
g
3
x
=
1
+
lo
g
3
x
.
По основному логарифмическому тождеству:
3
log
3
(
log
3
x
)
=
log
3
x
,
при
log
3
x
>
0
,
то есть при
x
>
1.
3^{\log_3(\log_3 x)} = \log_3 x, \text{ при } \log_3 x > 0, \text{ то есть при } x > 1.
3
l
o
g
3
(
l
o
g
3
x
)
=
lo
g
3
x
,
при
lo
g
3
x
>
0
,
то
есть
при
x
>
1.
Неравенство примет вид:
log
3
x
+
3
log
3
x
+
1
−
3
⩽
0
\log_3 x + \dfrac{3}{\log_3 x + 1} - 3 \leqslant 0
lo
g
3
x
+
lo
g
3
x
+
1
3
−
3
⩽
0
.
Пусть
t
=
log
3
x
t = \log_3 x
t
=
lo
g
3
x
,
тогда
t
+
3
t
+
1
−
3
⩽
0
;
t + \frac{3}{t+1} - 3 \leqslant 0;
t
+
t
+
1
3
−
3
⩽
0
;
t
2
+
t
+
3
−
3
t
−
3
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^2 + t + 3 - 3t - 3}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
2
+
t
+
3
−
3
t
−
3
⩽
0
;
t
2
−
2
t
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^2 - 2t}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
2
−
2
t
⩽
0
;
t
(
t
−
2
)
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t(t-2)}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
(
t
−
2
)
⩽
0
;
t
∈
(
−
∞
;
−
1
)
∪
[
0
;
2
]
.
t \in (-\infty; -1) \cup [0; 2].
t
∈
(
−
∞
;
−
1
)
∪
[
0
;
2
]
.
Вернёмся к замене:
[
log
3
x
<
−
1
,
0
⩽
log
3
x
⩽
2
;
[
0
<
x
<
1
3
,
1
⩽
x
⩽
9.
\left[
\begin{aligned}
&\log_3 x < -1, \\
&0 \leqslant \log_3 x \leqslant 2;
\end{aligned}
\right. \quad
\left[
\begin{aligned}
&0< x < \frac{1}{3}, \\
&1 \leqslant x \leqslant 9.
\end{aligned}
\right.
[
lo
g
3
x
<
−
1
,
0
⩽
lo
g
3
x
⩽
2
;
0
<
x
<
3
1
,
1
⩽
x
⩽
9.
С учётом
x
>
1
x > 1
x
>
1
получим
x
∈
(
1
;
9
]
x \in (1; 9]
x
∈
(
1
;
9
]
.
Ответ:
(
1
;
9
]
.
(1; 9].
(
1
;
9
]
.
Похожие задачи
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
3
2
(
3
x
)
−
1
log
3
(
9
x
)
+
1
log
3
x
−
4
⩽
6.
\dfrac{\log_3^2{(3x)}-1}{\log_3(9x)}+\dfrac{1}{\log_3x-4}\leqslant 6.
lo
g
3
(
9
x
)
lo
g
3
2
(
3
x
)
−
1
+
lo
g
3
x
−
4
1
⩽
6.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
3
log
5
(
5
+
20
x
−
5
)
⩽
9
−
2
log
0,2
(
25
−
100
x
−
1
)
.
3 \log_5 \left( 5 + \frac{20}{x-5} \right) \leqslant 9 - 2 \log_{0{,}2} \left( 25 - \frac{100}{x-1} \right).
3
lo
g
5
(
5
+
x
−
5
20
)
⩽
9
−
2
lo
g
0
,
2
(
25
−
x
−
1
100
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
2
log
3
(
x
3
)
−
log
3
(
x
1
−
x
)
⩽
log
3
(
9
x
2
+
1
x
−
4
)
.
2\log_3(x\sqrt{3}) - \log_3 \left( \frac{x}{1-x}\right) \leqslant \log_3\left( 9x^2 + \frac{1}{x} - 4\right).
2
lo
g
3
(
x
3
)
−
lo
g
3
(
1
−
x
x
)
⩽
lo
g
3
(
9
x
2
+
x
1
−
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
(
3
x
+
2
)
−
log
2
(
x
+
3
)
⩽
log
2
(
x
+
4
x
2
)
.
\log_2 \left( \frac{3}{x} + 2 \right) - \log_2 (x + 3) \leqslant \log_2 \left( \frac{x + 4}{x^2} \right).
lo
g
2
(
x
3
+
2
)
−
lo
g
2
(
x
+
3
)
⩽
lo
g
2
(
x
2
x
+
4
)
.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
log
2
2
x
−
log
2
x
log
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
⩾
0.
\frac{\log_2^2 x - \log_2 x}{\log_{0,2}(0,5 \cdot 2^x)} \geqslant 0.
lo
g
0
,
2
(
0
,
5
⋅
2
x
)
lo
g
2
2
x
−
lo
g
2
x
⩾
0.
Логарифмические неравенства
Решите неравенство
5
log
5
(
log
5
x
)
+
log
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
5^{\log_5(\log_5x)}+\log^2_{0,2}x-12\leqslant 0.
5
l
o
g
5
(
l
o
g
5
x
)
+
lo
g
0
,
2
2
x
−
12
⩽
0.
