Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
СтатГрад 22.04.2026
Скопировать ссылку
852835e8
Решите неравенство
3
log
3
(
log
3
x
)
+
3
log
3
(
3
x
)
⩽
3.
3^{\log_3(\log_3 x)} + \frac{3}{\log_3(3x)} \leqslant 3.
3
l
o
g
3
(
l
o
g
3
x
)
+
lo
g
3
(
3
x
)
3
⩽
3.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
По свойству логарифма:
log
3
(
3
x
)
=
log
3
3
+
log
3
x
=
1
+
log
3
x
\log_3 (3x) = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x
lo
g
3
(
3
x
)
=
lo
g
3
3
+
lo
g
3
x
=
1
+
lo
g
3
x
.
По основному логарифмическому тождеству:
3
log
3
(
log
3
x
)
=
log
3
x
,
при
log
3
x
>
0
,
то есть при
x
>
1.
3^{\log_3(\log_3 x)} = \log_3 x, \text{ при } \log_3 x > 0, \text{ то есть при } x > 1.
3
l
o
g
3
(
l
o
g
3
x
)
=
lo
g
3
x
,
при
lo
g
3
x
>
0
,
то
есть
при
x
>
1.
Неравенство примет вид:
log
3
x
+
3
log
3
x
+
1
−
3
⩽
0
\log_3 x + \dfrac{3}{\log_3 x + 1} - 3 \leqslant 0
lo
g
3
x
+
lo
g
3
x
+
1
3
−
3
⩽
0
.
Пусть
t
=
log
3
x
t = \log_3 x
t
=
lo
g
3
x
,
тогда
t
+
3
t
+
1
−
3
⩽
0
;
t + \frac{3}{t+1} - 3 \leqslant 0;
t
+
t
+
1
3
−
3
⩽
0
;
t
2
+
t
+
3
−
3
t
−
3
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^2 + t + 3 - 3t - 3}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
2
+
t
+
3
−
3
t
−
3
⩽
0
;
t
2
−
2
t
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t^2 - 2t}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
2
−
2
t
⩽
0
;
t
(
t
−
2
)
t
+
1
⩽
0
;
\frac{t(t-2)}{t+1} \leqslant 0;
t
+
1
t
(
t
−
2
)
⩽
0
;
t
∈
(
−
∞
;
−
1
)
∪
[
0
;
2
]
.
t \in (-\infty; -1) \cup [0; 2].
t
∈
(
−
∞
;
−
1
)
∪
[
0
;
2
]
.
Вернёмся к замене:
[
log
3
x
<
−
1
,
0
⩽
log
3
x
⩽
2
;
[
0
<
x
<
1
3
,
1
⩽
x
⩽
9.
\left[
\begin{aligned}
&\log_3 x < -1, \\
&0 \leqslant \log_3 x \leqslant 2;
\end{aligned}
\right. \quad
\left[
\begin{aligned}
&0< x < \frac{1}{3}, \\
&1 \leqslant x \leqslant 9.
\end{aligned}
\right.
[
lo
g
3
x
<
−
1
,
0
⩽
lo
g
3
x
⩽
2
;
0
<
x
<
3
1
,
1
⩽
x
⩽
9.
С учётом
x
>
1
x > 1
x
>
1
получим
x
∈
(
1
;
9
]
x \in (1; 9]
x
∈
(
1
;
9
]
.
Ответ:
(
1
;
9
]
.
(1; 9].
(
1
;
9
]
.
