Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство (x2+a2−25)3x+4a≤0 имеет не более двух решений.
Решение
Решим неравенство графически в системе координат Oxa. Для этого рассмотрим уравнение его границ:
(x2+a2−25)⋅3x+4a=0. 1) x2+a2−25=0 задаёт окружность с центром (0;0) и радиусом 5; 2) 3x+4a=0, a=−43x прямая
ОДЗ: 3x+4a⩾0,a⩾−43x, полуплоскость над прямой a=−43x.
С учетом ОДЗ у нас две области:
одна над прямой и внутри полуокружности, а
вторая над прямой и вне полуокружности.
Возьмём точки внутри областей и вычислим знак выражения (x2+a2−25)⋅3x+4a.
1) (1;1):(1+1−25)3⋅1+4⋅1<0подходит
2) (10;0):(100+0−25)⋅3⋅10+0>0неподходит
Решением исходного неравенства являются все точки прямой a=−43x, все точки внутри полуокружности, включая саму полуокружность.
Вычислим точки пересечения графиков:
⎩⎨⎧a=−43x,a2+x2=25; 169x2+x2=25; 1625x2=25,x=±4; x=4,a=−3,A(4;−3); x=−4,a=3,B(−4;3). Запустим горизонтальную считывающую прямую
и найдём, при каких a она пересекает
решение неравенства в одной или двух точках.
Условию задачи удовлетворяют положения прямой не выше точки A, положение, при котором прямая проходит через самую верхнюю точку полуокружности (0;5), а также все положения выше
него.
То есть a∈(−∞;−3]∪[5;+∞).
