Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m: n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m: n.
Ответ:
Решение
1) Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках T и S и пересекает линию центров IJ в точке X так, как показано на чертеже.
2) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: IT⊥XS и JS⊥XT. Поэтому треугольники IXT и JXS прямоугольные.
3) Угол при X у этих треугольников равен, так как он образован одной касательной и одной прямой центров. Следовательно, △IXT∼△JXS.
4) Из подобия JSIT=JXIX. По условию PX:QX=m:n, значит радиусы относятся как m:n. Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому диаметры окружностей тоже относятся как m:n.
