Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Параметры
100 параметров 2026
ЕГЭ 2021 (основа)
Скопировать ссылку
8257502e
Найдите все значения параметра
a
a
a
,
при каждом из которых уравнение
∣
x
2
−
a
2
∣
=
∣
x
−
a
∣
x
2
−
4
a
x
+
5
a
|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}
∣
x
2
−
a
2
∣
=
∣
x
−
a
∣
x
2
−
4
a
x
+
5
a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Разложим на множители:
∣
x
−
a
∣
∣
x
+
a
∣
=
∣
x
−
a
∣
x
2
−
4
a
x
+
5
a
;
∣
x
−
a
∣
(
∣
x
+
a
∣
−
x
2
−
4
a
x
+
5
a
)
=
0.
1
)
{
∣
x
−
a
∣
=
0
,
x
2
−
4
a
x
+
5
a
⩾
0.
2
)
∣
x
+
a
∣
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
.
|x-a||x+a| = |x-a|\sqrt{x^2 - 4ax + 5a};
\\[0.5em]
|x-a| \left( |x+a| - \sqrt{x^2 - 4ax + 5a} \right) = 0.
\\[0.5em]
1) \begin{cases}
|x-a| = 0, \\
x^2-4ax+5a \geqslant 0.
\end{cases}
\quad 2) \ |x+a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}.
∣
x
−
a
∣∣
x
+
a
∣
=
∣
x
−
a
∣
x
2
−
4
a
x
+
5
a
;
∣
x
−
a
∣
(
∣
x
+
a
∣
−
x
2
−
4
a
x
+
5
a
)
=
0.
1
)
{
∣
x
−
a
∣
=
0
,
x
2
−
4
a
x
+
5
a
⩾
0.
2
)
∣
x
+
a
∣
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
.
Случай 1:
∣
x
−
a
∣
=
0
|x-a| = 0
∣
x
−
a
∣
=
0
x
−
a
=
0
;
x
=
a
.
x - a = 0;\\[0.5em]
x = a.
x
−
a
=
0
;
x
=
a
.
Найдём, при каких
a
a
a
x
=
a
x=a
x
=
a
удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:
a
2
−
4
a
2
+
5
a
⩾
0
;
a^2-4a^2+5a\geqslant0;
a
2
−
4
a
2
+
5
a
⩾
0
;
Случай 2:
∣
x
+
a
∣
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
|x+a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}
∣
x
+
a
∣
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
x
2
+
2
a
x
+
a
2
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
;
6
a
x
=
5
a
−
a
2
.
x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - 4ax + 5a;
\\[0.5em]
6ax = 5a - a^2.
x
2
+
2
a
x
+
a
2
=
x
2
−
4
a
x
+
5
a
;
6
a
x
=
5
a
−
a
2
.
При
a
≠
0
a \neq 0
a
=
0
:
x
=
5
−
a
6
x = \dfrac{5-a}{6}
x
=
6
5
−
a
.
При
a
=
0
a = 0
a
=
0
имеем бесконечное число решений, следовательно,
a
=
0
a = 0
a
=
0
не подходит.
Исходное уравнение имеет два решения, если
x
=
a
x=a
x
=
a
удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения, а также не совпадает с
x
=
5
−
a
6
x = \dfrac{5-a}{6}
x
=
6
5
−
a
.
Запишем систему:
{
a
2
−
4
a
⋅
a
+
5
a
⩾
0
,
a
≠
5
−
a
6
;
{
−
3
a
2
+
5
a
⩾
0
,
6
a
≠
5
−
a
;
{
a
(
a
−
5
3
)
⩽
0
,
a
≠
5
7
.
\begin{cases}
a^2 - 4a \cdot a + 5a \geqslant 0, \\
a \neq \dfrac{5-a}{6};
\end{cases}
\\
\begin{cases}
-3a^2 + 5a \geqslant 0, \\
6a \neq 5 - a;
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a\left(a - \dfrac{5}{3}\right) \leqslant 0, \\[2mm]
a \neq \dfrac{5}{7}.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
a
2
−
4
a
⋅
a
+
5
a
⩾
0
,
a
=
6
5
−
a
;
{
−
3
a
2
+
5
a
⩾
0
,
6
a
=
5
−
a
;
⎩
⎨
⎧
a
(
a
−
3
5
)
⩽
0
,
a
=
7
5
.
a
∈
[
0
;
5
7
)
∪
(
5
7
;
5
3
]
.
a \in \left[0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right].
a
∈
[
0
;
7
5
)
∪
(
7
5
;
3
5
]
.
Пересекая со случаем
a
≠
0
a \neq 0
a
=
0
,
получаем
a
∈
(
0
;
5
7
)
∪
(
5
7
;
5
3
]
a \in \left(0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right]
a
∈
(
0
;
7
5
)
∪
(
7
5
;
3
5
]
.
Ответ:
a
∈
(
0
;
5
7
)
∪
(
5
7
;
5
3
]
a \in \left(0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right]
a
∈
(
0
;
7
5
)
∪
(
7
5
;
3
5
]
.
