Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2021 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}

имеет ровно два различных корня.

Решение

Разложим на множители:

|x-a||x+a| = |x-a|\sqrt{x^2 - 4ax + 5a}; \\[0.5em]|x-a| \left( |x+a| - \sqrt{x^2 - 4ax + 5a} \right) = 0.\\[0.5em]1) \begin{cases} |x-a| = 0, \\x^2-4ax+5a \geqslant 0.\end{cases}\quad 2) \ |x+a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}.

Случай 1:

|x-a| = 0

x - a = 0;\\[0.5em]x = a.

Найдём, при каких

a

x=a

удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:

a^2-4a^2+5a\geqslant0;

Случай 2:

|x+a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}

x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - 4ax + 5a;\\[0.5em]6ax = 5a - a^2.

При

a \neq 0

x = \dfrac{5-a}{6}

.
При

a = 0

имеем бесконечное число решений, следовательно,

a = 0

не подходит.

Исходное уравнение имеет два решения, если

x=a

удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения, а также не совпадает с

x = \dfrac{5-a}{6}

.

Запишем систему:

\begin{cases}a^2 - 4a \cdot a + 5a \geqslant 0, \\a \neq \dfrac{5-a}{6};\end{cases}\\\begin{cases}-3a^2 + 5a \geqslant 0, \\6a \neq 5 - a;\end{cases}\\ \begin{cases}a\left(a - \dfrac{5}{3}\right) \leqslant 0, \\[2mm]a \neq \dfrac{5}{7}.\end{cases}

a \in \left[0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right].

Пересекая со случаем

a \neq 0

, получаем

a \in \left(0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right]

.

Ответ:

a \in \left(0; \dfrac{5}{7}\right) \cup \left(\dfrac{5}{7}; \dfrac{5}{3}\right]

Похожие задачи