Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
a−35a⋅7∣x∣=49∣x∣+a−36a+7 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть 7∣x∣=t, тогда уравнение примет вид:
t2−a−35at+a−36a+7=0.(1)
Исследуем замену и найдём, сколько решений имеет уравнение 7∣x∣=b в зависимости от значения b:
1) b>1 -- два решения x=±log7b; 2) b=1 -- одно решение x=0; 3) b<1 -- решений нет.
Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 1, а другой корень либо был меньше 1, либо не существовал.
Пусть f(t)=t2−a−35at+a−36a+7. Графиком этой функции является парабола с ветвями вверх. Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от t=1, либо касалась оси правее t=1.
Рассмотрим случаи, которые нам подходят:
1) Уравнение f(t)=0 имеет всего один корень, и он больше единицы.
Этот случай задаётся системой:
{D=0,tВ>1;⎩⎨⎧(a−3)225a2−4⋅a−36a+7=0,2(a−3)5a>1;⎩⎨⎧(a−3)225a2−4(6a+7)(a−3)=0,a−35a−2a+6>0; ⎩⎨⎧(a−3)225a2−24a2+72a−28a+84=0,a−33a+6>0;⎩⎨⎧(a−3)2a2+44a+84=0,a−3a+2>0;⎩⎨⎧[a=−42,\hfilla=−2,\hfilla−3a+2>0.
Решим неравенство a−3a+2>0 методом интервалов:
a∈(−∞;−2)∪(3;+∞). Тогда решением системы будет a=−42. 2) Корни уравнения f(t)=0 расположены по разные стороны от t=1.
Этот случай задаётся условием:
f(1)<0,1−a−35a+a−36a+7<0,a−3a−3−5a+6a+7<0,a−32a+4<0;
a∈(−2;3). Объединяя случаи, получаем, что a∈{−42}∪(−2;3). Ответ: a∈{−42}∪(−2;3).
