Основание пирамиды DABC~--- прямоугольный треугольник ABC с прямым
углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Точки
M и N~--- середины рёбер AD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла BMC. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если BD=42,AC=12.
Решение
а) Так как N --- середина отрезка BC, то MN является медианой треугольника BMC.
Поэтому достаточно доказать, что треугольник BMC равнобедренный, то есть BM=CM.
Так как M --- середина ребра AD, а BD --- высота пирамиды, то в △ABD угол при вершине B прямой. Следовательно, M --- середина гипотенузы AD, значит, BM=2AD.
Теперь докажем, что CM=2AD.
Для этого рассмотрим △ACD. Достаточно показать, что он прямоугольный с прямым углом при C, тогда M будет серединой гипотенузы AD.
Отрезок BC является проекцией отрезка DC на плоскость основания ABC. По условию △ABC прямоугольный, поэтому BC⊥AC.
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем DC⊥AC. Значит, △ACD прямоугольный с прямым углом при C. Следовательно,
CM=2AD. Итак,
BM=CM=2AD. Следовательно, △BMC равнобедренный, а так как N --- середина BC, то медиана MN является биссектрисой. Что и требовалось доказать.
б) Пусть K --- середина отрезка AB.
В △ABD точки K и M --- середины сторон AB и AD, поэтому KM∥BD и
KM=2BD=242=22. Так как BD перпендикулярна плоскости основания ABC, то и прямая KM тоже перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, KM⊥KN, так как KN лежит в плоскости ABC.
Значит, треугольник KMN прямоугольный, и угол между прямыми BD и MN равен углу ∠KMN.
Найдём длину KN. В △ABC точки K и N --- середины сторон AB и BC, поэтому KN --- средняя линия:
KN=2AC=212=6. Тогда в прямоугольном △KMN tg∠KMN=KMKN=226=23=232. Следовательно, искомый угол равен
arctg232.
