Постройте график функции y=−x2+11x+2∣x−5∣−30. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Решение
Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения: x+−5=0⇒x=5.
Раскрываем модуль на промежутках.
Случай 1: x<5. Получаем y=−x2+9x−20.
Случай 2: x⩾5. Получаем y=−x2+13x−40.
Таким образом: y={−x2+9x−20,−x2+13x−40,x<5,x⩾5. Вершина левой ветви: (4,5;0,25), вершина правой ветви: (6,5;2,25). Таблица значений для левой ветви:
x:3,4,5 y:−2,0,0
Таблица значений для правой ветви:
x:5,6,7,8 y:0,2,2,0
Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.
График функции:
Прямая y=m — горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика. Следовательно, m∈{0}∪{0,25}.
