Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=2|x-5|-x^{2}+11x-30.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-5=0 \Rightarrow x=5

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<5

, тогда

|x-5|=-(x-5)

.
Получаем

y=- x^{2} + 9 x - 20

.

Случай

2

x\geqslant 5

, тогда

|x-5|=x-5

.
Получаем

y=- x^{2} + 13 x - 40

.

Таким образом:

y=\begin{cases}- x^{2} + 9 x - 20, & x<5,\\- x^{2} + 13 x - 40, & x\geqslant 5.\end{cases}

В граничной точке

x=5

проверим значения обеих формул:

y_1(5)=- 5^{2} + 9\cdot 5 - 20=0,\qquad y_2(5)=- 5^{2} + 13\cdot 5 - 40=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(5; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} + 9 x - 20

имеем

a=-1

b=9

c=-20

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{9}{2\cdot(-1)}=4{,}5.

y_0=-1\cdot(4{,}5)^2+9\cdot(4{,}5)-20=0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(4{,}5; 0{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} + 13 x - 40

имеем

a=-1

b=13

c=-40

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{13}{2\cdot(-1)}=6{,}5.

y_0=-1\cdot(6{,}5)^2+13\cdot(6{,}5)-40=2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(6{,}5; 2{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{0{,}25\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи