Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ФИПИ

Решите неравенство

1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{\log_4^2 x - \log_4 (64x^6) + 12} \geqslant 0.

Решение

Для существования левой части неравенства необходимо выполнение условия

x > 0

.

Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения:

1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{\log_4^2 x - \log_4{64} - \log_4 (x^6) + 12} \geqslant 0.

Так как

x > 0

, то

1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{\log_4^2 x - 6\log_4 x + 9} \geqslant 0;

1 + \frac{5}{\log_4 x - 3} + \frac{6}{(\log_4 x - 3)^2} \geqslant 0.

Сделаем замену

\log_4 x = t

1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{(t - 3)^2} \geqslant 0;

\frac{(t - 3)^2 + 5(t - 3) + 6}{(t - 3)^2} \geqslant 0;

\frac{t^2 - 6t + 9 + 5t - 15 + 6}{(t - 3)^2} \geqslant 0;

\frac{t^2 - t}{(t - 3)^2} \geqslant 0;

\frac{t(t - 1)}{(t - 3)^2} \geqslant 0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 2$

Получаем:

t \in (-\infty; 0] \cup [1; 3) \cup (3; +\infty).

Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностю логарифма:

\left[ \begin{array}{l} \log_4 x \leqslant 0, \\ 1 \leqslant \log_4 x < 3,\\ \log_4 x > 3. \end{array} \right. \;\Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \log_4 x \leqslant \log_4 1, \\ \log_4 4 \leqslant \log_4 x < \log_4 64,\\ \log_4 x > \log_4 64. \end{array} \right. \;\Rightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 0 < x \leqslant 1, \\ 4 \leqslant x < 64,\\ x > 64. \end{array} \right.

Получаем:

x \in (0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty)

$Изображение 1$

Ответ:

(0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty)

Похожие задачи