а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 500? б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 1250? в) Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n,n+1 и n+2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения n(n+1)(n+2) оканчивается на 4000.
Решение
а)
Заметим, что число оканчивается на 500 тогда и только тогда, когда оно делится на 500, но не делится на 1000.
Достаточно привести пример. Возьмём три последовательных трёхзначных числа:
123,124,125. Тогда
123⋅124⋅125=123⋅31⋅4⋅125=123⋅31⋅500. В нашем случае произведение делится на 500, при этом число 123⋅31 нечётное, значит, произведение не делится на 1000.
Следовательно, число 123⋅124⋅125 оканчивается на 500.
б) Если произведение трёх последовательных трёхзначных чисел оканчивается на 1250, то его можно представить в виде
1250+10000k. Значит, это число делится на 625.
Среди трёх последовательных чисел n,n+1,n+2 не может быть двух чисел, делящихся на 5, поэтому максимум одно из них делится на 5.
Тогда одно из чисел n,n+1,n+2 должно делиться на 625.
Так как числа трёхзначные, возможны только такие тройки:
623,624,625;624,625,626;625,626,627. В первых двух случаях произведение делится на 100, так как 625 делится на 25, а 624 делится на 4.
Поэтому эти произведения оканчиваются на 00, то есть точно не на 1250.
Осталось проверить последний случай:
625⋅626⋅627=245313750. Это число оканчивается на 3750, а не на 1250.
в) Если произведение трёх последовательных трёхзначных чисел оканчивается на 4000, то его можно представить в виде
4000+10000k.
Значит, это число делится на 2000=125⋅16.
Значит, среди чисел n,n+1,n+2 одно из них должно делиться на 125.
Если одно из чисел равно 125, то возможны тройки
123,124,125;124,125,126;125,126,127. Ни одна из них не даёт делимости на 24, значит, они не подходят.
Если одно из чисел равно 250, то возможны тройки
248,249,250;249,250,251;250,251,252. Подойти может только первая тройка, остальные не дают достаточно двоек.
Если одно из чисел равно 375, то возможны тройки
373,374,375;374,375,376;375,376,377. Подойти может только вторая тройка.
Если одно из чисел равно 500, то возможны тройки
498,499,500;499,500,501;500,501,502. Ни одна из них не подходит.
Если одно из чисел равно 625, то возможны тройки
623,624,625;624,625,626;625,626,627. Ни одна из них не подходит.
Если одно из чисел равно 750, то возможны тройки
748,749,750;749,750,751;750,751,752. Подойти может только третья тройка.
Если одно из чисел равно 875, то возможны тройки
873,874,875;874,875,876;875,876,877. Ни одна из них не подходит.
Таким образом, остаются только три кандидата:
248⋅249⋅250,374⋅375⋅376,750⋅751⋅752.
Проверим их:
248⋅249⋅250=15438000, это число оканчивается на 8000;
374⋅375⋅376=52734000, это число оканчивается на 4000;
750⋅751⋅752=423564000, это число тоже оканчивается на 4000.
