Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026СтатГрад 21.09.2017

Найдите все значения

x

, каждое из которых является решением уравнения

\dfrac{5a\sqrt{3}\sin 4x +(\sqrt{3}-5a) \cos 4x}{6\sin 4x -\sqrt{3}\cos 4x}=1

при любом значении параметра

a

из отрезка

[-3\sqrt{2}; 1]

Решение

Искомые значения

x

должны быть среди решений данного уравнения при

a=0

, то есть среди решений уравнения:

\dfrac{\sqrt{3}\cos 4x}{6\sin 4x -\sqrt{3}\cos 4x}=1, \quad 6\sin 4x -\sqrt{3}\cos 4x=\sqrt{3}\cos 4x, \quad 3\sin 4x =\sqrt{3}\cos 4x,

\tg 4x =\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \quad 4x=\dfrac{\pi}{6}+\pi m, \ m\in \mathbb{Z}, \quad x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi m}{4}, \ m\in \mathbb{Z}.

Разобьём найденную серию решений на две:

x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \quad x=\dfrac{7\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \ k\in \mathbb{Z}.

Рассмотрим

x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \ k\in \mathbb{Z}

. Подставим в исходное уравнение:

\dfrac{5a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2} +(\sqrt{3}-5a)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{6\cdot \dfrac{1}{2} -\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1, \quad \dfrac{1,5}{1,5}=1.

Получаем, что для всех значений

a

уравнение выполняется, следовательно, все значения

x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \ k\in \mathbb{Z}

удовлетворяют условию.
Рассмотрим

x=\dfrac{7\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \ k\in \mathbb{Z}

. Подставим в исходное уравнение:

\dfrac{-5a\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2} -(\sqrt{3}-5a)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-6\cdot \dfrac{1}{2} +\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1, \quad \dfrac{-1,5}{-1,5}=1.

Получаем, что для всех значений

a

уравнение выполняется, следовательно, все значения

x=\dfrac{7\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}, \ k\in \mathbb{Z}

удовлетворяют условию.

Ответ:

x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi m}{4}, \ m\in \mathbb{Z}

Похожие задачи