Найдите все значения x, каждое из которых является решением уравнения 6sin4x−3cos4x5a3sin4x+(3−5a)cos4x=1 при любом значении параметра a из отрезка [−32;1].
Решение
Искомые значения x должны быть среди решений данного уравнения при a=0, то есть среди решений уравнения:
6sin4x−3cos4x3cos4x=1,6sin4x−3cos4x=3cos4x,3sin4x=3cos4x, tg4x=31,4x=6π+πm,m∈Z,x=24π+4πm,m∈Z. Разобьём найденную серию решений на две:
x=24π+2πk,x=247π+2πk,k∈Z. Рассмотрим x=24π+2πk,k∈Z. Подставим в исходное уравнение:
6⋅21−3⋅235a3⋅21+(3−5a)⋅23=1,1,51,5=1. Получаем, что для всех значений a уравнение выполняется, следовательно, все значения x=24π+2πk,k∈Z удовлетворяют условию.
Рассмотрим x=247π+2πk,k∈Z. Подставим в исходное уравнение:
−6⋅21+3⋅23−5a3⋅21−(3−5a)⋅23=1,−1,5−1,5=1. Получаем, что для всех значений a уравнение выполняется, следовательно, все значения x=247π+2πk,k∈Z удовлетворяют условию.
