Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x2+a2−x−7a=∣7x−a∣ имеет ровно два различных корня.
Решение
Рассмотрим три случая.
Случай 1: a=7x. Уравнение принимает вид:
x2+(7x)2−x−49x=0⇒x(x−1)=0;x=0иx=1. При x=0 получаем a=0, при x=1 получаем a=7.
Случай 2: 7x>a. Уравнение принимает вид:
x2+a2−x−7a=7x−a;x2−8x+a2−6a=0;(x−4)2+(a−3)2=25.(1) При условии 7x<a это уравнение задаёт часть окружности с центром (4;3) и радиусом 5, лежащаую ниже прямой a=7x.
Случай 3: 7x⩽a. Уравнение принимает вид:
x2+a2−x−7a=−7x+a;x2+6x+a2−8a=0;(x+3)2+(a−4)2=25. При условии 7x⩽a это уравнение задаёт часть окружности с центром (−3;4) и радиусом 5, лежащую выше прямой a=7x.
Изобразим в осях Oxa:
Точки (4;−2) и (4;8) являются низшей и высшей точками окружности (1) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−2 и a=8 касаются окружности (1).
Точки (−3;−1) и (−3;9) являются низшей и высшей точками окружности (2) соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые a=−1 и a=9 касаются окружности (2).
Анализируя график, получаем, что уравнение имеет два решения при a∈(−2;−1)∪(0;7)∪(8;9).
