Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

x^2+a^2-x-7 a=|7 x-a|

имеет ровно два различных корня.

Решение

Рассмотрим три случая.

Случай 1:

a = 7x

. Уравнение принимает вид:

x^2 + (7x)^2 - x - 49x = 0\quad\Rightarrow\quad x(x - 1) = 0;\\ x = 0\quad \text{ и } x = 1.

При

x = 0

получаем

a = 0

, при

x = 1

получаем

a = 7

.

Случай 2:

7x > a

. Уравнение принимает вид:

x^2 + a^2 - x - 7a = 7x - a;\\ x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0;\\ (x - 4)^2 + (a - 3)^2 = 25.\quad (1)

При условии

7x < a

это уравнение задаёт часть окружности с центром

(4; 3)

и радиусом

5

, лежащаую ниже прямой

a = 7x

.

Случай 3:

7x \leqslant a

. Уравнение принимает вид:

x^2 + a^2 - x - 7a = -7x + a;\\ x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0;\\ (x + 3)^2 + (a - 4)^2 = 25.

При условии

7x \leqslant a

это уравнение задаёт часть окружности с центром

(-3; 4)

и радиусом

5

, лежащую выше прямой

a = 7x

.

Изобразим в осях

Oxa

Точки

(4; -2)

(4; 8)

являются низшей и высшей точками окружности

(1)

соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a = -2

a = 8

касаются окружности

(1)

.

Точки

(-3; -1)

(-3; 9)

являются низшей и высшей точками окружности

(2)

соответственно. Следовательно, горизонтальные прямые

a = -1

a = 9

касаются окружности

(2)

.

Анализируя график, получаем, что уравнение имеет два решения при

a \in (-2;\; -1) \cup (0;\; 7) \cup (8;\; 9)

.

Ответ:

a \in (-2; -1) \cup (0; 7) \cup (8; 9)

Похожие задачи