Постройте график функции \[ y=- x^{2} + 5 x… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=- x^{2} + 5 x + 5 \left|{x - 2}\right| - 6.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ:

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+-2=0 \Rightarrow x=2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай 1:

x<2

. Получаем

y=4 - x^{2}

.

Случай 2:

x\geqslant 2

. Получаем

y=- x^{2} + 10 x - 16

.

Таким образом:

y=\begin{cases}4 - x^{2}, & x<2,\\- x^{2} + 10 x - 16, & x\geqslant 2.\end{cases}

Вершина левой ветви:

(0; 4)

, вершина правой ветви:

(5; 9)

.
Таблица значений для левой ветви:

x

0

1

2

y

4

3

0

Таблица значений для правой ветви:

x

2

3

4

5

y

0

5

8

9

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.
Следовательно,

m \in \{0\} \cup\{4\}

.

График для анализа значений параметра:

Задание 22

Постройте график функции

y=- x^{2} + 5 x + 5 \left|{x - 2}\right| - 6.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ:

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+-2=0 \Rightarrow x=2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай 1:

x<2

. Получаем

y=4 - x^{2}

.

Случай 2:

x\geqslant 2

. Получаем

y=- x^{2} + 10 x - 16

.

Таким образом:

y=\begin{cases}4 - x^{2}, & x<2,\\- x^{2} + 10 x - 16, & x\geqslant 2.\end{cases}

Вершина левой ветви:

(0; 4)

, вершина правой ветви:

(5; 9)

.
Таблица значений для левой ветви:

x

0

1

2

y

4

3

0

Таблица значений для правой ветви:

x

2

3

4

5

y

0

5

8

9

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

m \in \{0\} \cup\{4\}

.

График для анализа значений параметра: