Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=5|x-2|-x^{2}+5x-6.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-2=0 \Rightarrow x=2

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<2

, тогда

|x-2|=-(x-2)

.
Получаем

y=4 - x^{2}

.

Случай

2

x\geqslant 2

, тогда

|x-2|=x-2

.
Получаем

y=- x^{2} + 10 x - 16

.

Таким образом:

y=\begin{cases}4 - x^{2}, & x<2,\\- x^{2} + 10 x - 16, & x\geqslant 2.\end{cases}

В граничной точке

x=2

проверим значения обеих формул:

y_1(2)=4 - 2^{2}=0,\qquad y_2(2)=- 2^{2} + 10\cdot 2 - 16=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(2; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=4 - x^{2}

имеем

a=-1

b=0

c=4

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(-1)}=0.

y_0=-1\cdot(0)^2+0\cdot(0)+4=4.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; 4)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=- x^{2} + 10 x - 16

имеем

a=-1

b=10

c=-16

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5.

y_0=-1\cdot(5)^2+10\cdot(5)-16=9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(5; 9)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{0\} \cup\{4\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи