Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2−(6a+1)x+6ax2−6x+a+3=0 имеет единственное решение.
Решение
Рассмотрим знаменатель и найдём его нули:
x2−(6a+1)x+6a=0;x2−6ax−x+6a=0;x(x−6a)−(x−6a)=0;(x−1)(x−6a)=0;x=1,x=6a. Найдём при каких a корни знаменателя являются корнями числителя. Подставим x=1 и x=6a в уравнение x2−6x+a+3=0. 1) x=1: 12−6+a+3=0;a=2.
2) x=6a: (6a)2−6⋅6a+a+3=0;36a2−35a+3=0;D=352−4⋅36⋅3=793;a1,2=7235±793. Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если
а) числитель имеет ровно один корень и он отличен от 1 и 6a. x2−6x+a+3=0;D=36−4(a+3)=36−4a−12=24−4a;D=0;24−4a=0;a=6.⎩⎨⎧D=0,a=2,a=7235±793;⎩⎨⎧a=6,a=2,a=7235±793;a=6. б) числитель имеет два корня, из которых ровно один равен 1 или 6a.
Заметим, что x=1 и x=6a являются корнями числителя при разных значениях параметра, значит, не может возникнуть ситуация, когда оба корня числителя обнуляют знаменатель.
Заметим, что и при a=2, и при a=7235±793, числитель имеет два корня, так как один из них равен 1 или 6a, а дискриминант числителя не равен нулю (так как a=6). Следовательно, при таких a уравнение будет иметь ровно один корень.
