Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ПланиметрияЕГКР 16.12.2025
В треугольнике ABCABCABC с тупым углом ACBACBACB проведена высота BHBHBH. Около
треугольника ABCABCABC описана окружность. Высота BHBHBH пересекается с этой окружностью в точке PPP, причём луч APAPAP -- биссектриса угла BACBACBAC.

а) Докажите, что треугольник BCPBCPBCP равнобедренный.

б) Найдите длину стороны ACACAC, если длина стороны BCBCBC равна радиусу
описанной окружности, равному 222\sqrt{2}22​.

Решение

а) Из условия ∠CAP=∠PAB\angle{CAP} = \angle{PAB}∠CAP=∠PAB, поэтому CP⌣=PB⌣\overset{\smile}{CP} = \overset{\smile}{PB}CP⌣=PB⌣. Равные дуги стягиваются равными хордами, значит, CP=PBCP = PBCP=PB и PCBPCBPCB -- равнобедренный треугольник.
Изображение 1

б) По теореме синусов получаем:
BCsin⁡∠A=2R,⇒sin⁡∠A=BC2R=12,⇒∠A=30∘.\dfrac{BC}{\sin{\angle{A}}} = 2R,\quad\Rightarrow\quad \sin{\angle{A}} = \dfrac{BC}{2R} = \dfrac{1}{2},\quad\Rightarrow\quad \angle{A} = 30^{\circ}.sin∠ABC​=2R,⇒sin∠A=2RBC​=21​,⇒∠A=30∘.
Четырёхугольник ACPBACPBACPB -- вписанный, значит,
∠CPB=180∘−∠A=150∘.\angle{CPB} = 180^{\circ} - \angle{A} = 150^{\circ}.∠CPB=180∘−∠A=150∘.
Из треугольника PCBPCBPCB по теореме о сумме углов треугольника получаем:
∠PBC=∠PCB=180∘−150∘2=15∘.\angle{PBC} = \angle{PCB} = \dfrac{180^{\circ} - 150^{\circ}}{2} = 15^{\circ}.∠PBC=∠PCB=2180∘−150∘​=15∘.
Аналогично, из треугольника HCBHCBHCB получаем: ∠HCB=75∘\angle{HCB} = 75^{\circ}∠HCB=75∘. Отсюда
∠ACB=180∘−∠HCB=105∘.\angle{ACB} = 180^{\circ} - \angle{HCB} = 105^{\circ}.∠ACB=180∘−∠HCB=105∘.
Из треугольника ABCABCABC по теореме о сумме углов треугольника получаем:
∠ABC=180∘−105∘−30∘=45∘.\angle{ABC} = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}.∠ABC=180∘−105∘−30∘=45∘.
Наконец, из треугольника ABCABCABC по теореме синусов получаем:
ACsin⁡∠ABC=2R,⇒AC=2⋅22⋅22=4.\dfrac{AC}{\sin{\angle{ABC}}} = 2R,\quad\Rightarrow\quad AC = 2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 4.sin∠ABCAC​=2R,⇒AC=2⋅22​⋅22​​=4.
Ответ: 444.