В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота BH. Около треугольника ABC описана окружность. Высота BH пересекается с этой окружностью в точке P, причём луч AP -- биссектриса угла BAC.
а) Докажите, что треугольник BCP равнобедренный.
б) Найдите длину стороны AC, если длина стороны BC равна радиусу описанной окружности, равному 22.
Решение
а) Из условия ∠CAP=∠PAB, поэтому CP⌣=PB⌣. Равные дуги стягиваются равными хордами, значит, CP=PB и PCB -- равнобедренный треугольник.
б) По теореме синусов получаем:sin∠ABC=2R,⇒sin∠A=2RBC=21,⇒∠A=30∘.Четырёхугольник ACPB -- вписанный, значит,∠CPB=180∘−∠A=150∘.Из треугольника PCB по теореме о сумме углов треугольника получаем:∠PBC=∠PCB=2180∘−150∘=15∘.Аналогично, из треугольника HCB получаем: ∠HCB=75∘. Отсюда∠ACB=180∘−∠HCB=105∘.Из треугольника ABC по теореме о сумме углов треугольника получаем:∠ABC=180∘−105∘−30∘=45∘.Наконец, из треугольника ABC по теореме синусов получаем:sin∠ABCAC=2R,⇒AC=2⋅22⋅22=4.Ответ: 4.
