Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любое значение из промежутка [−1,5;−0,5] является решением неравенства
(4∣x∣−a−3)(x2−2x−2−a)≥0.
Решение
Для начала решим неравенство графически в системе Oxa. Для этого составим уравнение границы решений. При этом учтём, что нас интересует только x∈[−1,5;−0,5], то есть ∣x∣=−x. (4∣x∣−a−3)(x2−2x−2−a)=0;−4x−a−3=0;a=−4x−3;xa0−3−25 x2−2x−2−a=0; a=x2−2x−2– графикпарабола;xв=1,aв=−3;xa−26−110−2
Найдём точки пересечения графиков параболы и прямой:
a=−4x−3;(x<0)−4x−3=x2−2x−2;x2+2x+1=0;(x+1)2=0;x=−1,−1<0;A(−1;1)точкакасания. Прямая и парабола в левой полуплоскости образовали 4 области, определим знак выражения
(4∣x∣−a−3)(x2−2x−2−a) в каждой из них.
1) область под прямой. Возьмём т. (−2;0): (4⋅2−0−3)(4+4−2−0)>0 – удовлетворяетнеравенству(⩾0) 2) область над параболой. Точка (−1;5): (4⋅1−5−3)(1+2−2−5)>0 — удовлетворяетнеравенству. 3)область под параболой, но над прямой правее точки касания. Точка (0;−2,5): (0+2,5−3)(0−0−2+2,5)<0 – неудовлетворяетнеравенству. 4) область под параболой, но над прямой левее точки касания. Точка (−2;5,5): (8−5,5−3)(4+4−2−5,5)<0 – неудовлетворяетнеравенству. Решением неравенства являются все точки II и III четвертей, лежащие над параболой, включая
саму параболу, а также все точки, лежащие
под прямой, включая саму прямую.
Возьмём точки пересечения прямых x=−0,5 и x=−1,5 с прямой a=−4x−3 и параболой.
1) x=−0,5: a=−4⋅(−0,5)−3=−1;B(−0,5;−1). 2) x=−1,5: a=−4⋅(−1,5)−3=3;C(−1,5;3). 3) x=−0,5: a=(−0,5)2−2⋅(−0,5)−2=−0,75;D(−0,5;−0,75). 4) x=−1,5: a=(−1,5)2−2(−1,5)−2=3,25;E(−1,5;3,25). Найдём, при каких a горизонтальная считывающая прямая пересекает решения неравенства по всем точкам отрезка x∈[−1,5;0,5].
Нам подходят все положения ниже точки B, включая прохождение через точку B; все положения выше точки E; включая прохождение через точку E; а также положение, при котором прямая проходит через точку касания параболы и прямой, так как в этой точке области
решений сливаются между собой.
Получим a∈(−∞;−1]∪{1}∪[3,25;+∞).
