Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
7b6a2563
Найдите наименьшее значение функции
y
=
9
x
−
9
ln
(
x
+
11
)
+
7
y = 9x - 9\ln(x + 11) + 7
y
=
9
x
−
9
ln
(
x
+
11
)
+
7
на отрезке
[
−
10,5
;
0
]
[-10{,}5; 0]
[
−
10
,
5
;
0
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Скрыть решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
>
−
11
x > -11
x
>
−
11
.
Отрезок
[
−
10,5
;
0
]
[-10{,}5; 0]
[
−
10
,
5
;
0
]
входит в область определения.
Найдём производную:
y
′
=
9
−
9
x
+
11
.
y' = 9 - \dfrac{9}{x + 11}.
y
′
=
9
−
x
+
11
9
.
Найдём нули производной:
9
−
9
x
+
11
=
0
;
9 - \dfrac{9}{x + 11} = 0;
9
−
x
+
11
9
=
0
;
9
(
x
+
11
)
−
9
x
+
11
=
0
;
\dfrac{9(x + 11) - 9}{x + 11} = 0;
x
+
11
9
(
x
+
11
)
−
9
=
0
;
9
x
+
90
x
+
11
=
0
;
\dfrac{9x + 90}{x + 11} = 0;
x
+
11
9
x
+
90
=
0
;
x
=
−
10.
x = -10.
x
=
−
10.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
y
′
(
−
8
)
=
9
−
6
=
3
>
0
y'(-8) = 9 - 6 = 3 > 0
y
′
(
−
8
)
=
9
−
6
=
3
>
0
,
поэтому производная меняет знак с «–» на «+» в точке
x
=
−
10
x = -10
x
=
−
10
.
Значит, это точка минимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наименьшего значения на отрезке
[
−
4,5
;
0
]
[-4{,}5; 0]
[
−
4
,
5
;
0
]
в точке
−
10
-10
−
10
:
y
(
−
10
)
=
9
⋅
(
−
10
)
−
9
ln
(
−
10
+
11
)
+
7
=
−
83.
y(-10) = 9\cdot (-10) - 9\ln{(-10 + 11)} + 7 = -83.
y
(
−
10
)
=
9
⋅
(
−
10
)
−
9
ln
(
−
10
+
11
)
+
7
=
−
83.
Ответ:
−
83
-83
−
83
.
