Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Ответ:
Решение
Пусть M — середина основания AC. Тогда AM=CM=8. Обозначим BM=h. По симметрии центры обеих окружностей лежат на прямой BM, поэтому OM=12,OB=h+12.
В треугольнике AOB площадь можно найти двумя способами: через основание AB и расстояние от O до прямой AB, равное 12, и через основание OB, высота к которому равна AM=8: 21AB⋅12=21(h+12)⋅8. Так как AB=64+h2, получаем уравнение 1264+h2=8(h+12). Отсюда h=596,AB=5104. Площадь треугольника равна S=5768, а полупериметр равен p=AB+AM=5144. Поэтому r=pS=51445768=316.
