Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}x+a y+a-2=0, \\x|y|+x-2=0\end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы:

x = -a(y+1) + 2.

В плоскости

Oyx

это уравнение задаёт пучок прямых (без прямой

y = -1

), проходящих через точку

(-1; 2)

.

Преобразуем второе уравнение системы:

x|y| + x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x(|y| + 1) = 2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{2}{|y| + 1}.

В плоскости

Oyx

график этой функции состоит из частей двух гипербол:

1) при

y \geqslant 0

получаем гиперболу

x = \dfrac{2}{y+1}

;
2) при

y < 0

получаем гиперболу

x = \dfrac{2}{-y+1}

.

Заметим, что эта функция является чётной, поэтому нам достаточно построить её график при

y \geqslant 0

и симметрично отразить относительно оси

Ox

.

Изобразим полученные графики в осях

Oyx

(I) Найдём значение

a

, при котором прямая проходит через точку

(0; 2)

2 = -a(0 + 1) + 2\quad\Rightarrow\quad a = 0.

(II) Найдём значение

a

, при котором прямая касается правой гиперболы. Это происходит, когда уравнение

\dfrac{2}{y+1} = -a(y+1) + 2

имеет ровно одно решение и

a \neq 0

. Умножим уравнение на

y + 1 > 0

a(y + 1)^2 + 2(y + 1) + 2 = 0;\\ ay^2 + 2(a - 1)y + a = 0; \\ D = 4(a - 1)^2 - 4a^2 = 0\quad\Rightarrow\quad -2a + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{2}.

Тогда
1) при

a \in (-\infty; 0] \cup \left( \dfrac{1}{2}; +\infty \right)

система имеет

1

решение;
2) при

a \in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)

система имеет

3

решения;
3) при

a = \dfrac{1}{2}

система имеет

2

решения.

Ответ:

(-\infty; 0] \cup \left( \dfrac{1}{2}; +\infty \right)

Похожие задачи