Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x+ay+a−2=0,x∣y∣+x−2=0 имеет единственное решение.
Решение
Преобразуем первое уравнение системы:
x=−a(y+1)+2. В плоскости Oyx это уравнение задаёт пучок прямых (без прямой y=−1), проходящих через точку (−1;2).
Преобразуем второе уравнение системы:
x∣y∣+x−2=0⇒x(∣y∣+1)=2⇒x=∣y∣+12. В плоскости Oyx график этой функции состоит из частей двух гипербол:
1) при y⩾0 получаем гиперболу x=y+12; 2) при y<0 получаем гиперболу x=−y+12.
Заметим, что эта функция является чётной, поэтому нам достаточно построить её график при y⩾0 и симметрично отразить относительно оси Ox.
Изобразим полученные графики в осях Oyx:
(I) Найдём значение a, при котором прямая проходит через точку (0;2): 2=−a(0+1)+2⇒a=0.
(II) Найдём значение a, при котором прямая касается правой гиперболы. Это происходит, когда уравнение
y+12=−a(y+1)+2 имеет ровно одно решение и a=0. Умножим уравнение на y+1>0: a(y+1)2+2(y+1)+2=0;ay2+2(a−1)y+a=0;D=4(a−1)2−4a2=0⇒−2a+1=0⇒a=21. Тогда
1) при a∈(−∞;0]∪(21;+∞) система имеет 1 решение;
2) при a∈(0;21) система имеет 3 решения;
3) при a=21 система имеет 2 решения.
