Ребро AD пирамиды DABC равно 6, а все остальные рёбра равны 5.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC.
Решение
а) Пусть M -- середина ребра BC, тогда AM и DM -- высоты, медианы и биссектрисы правильных треугольников ABC и DBC соответственно. Тогда AM⊥BC,DM⊥BC, значит, BC⊥(MAD). Так как AD∈(MAD), то AD⊥BC.
б) Проведём MQ -- высоту треугольника MAD.MQ⊥AD,MQ⊥BC, значит, MQ=ρ(BC;AD). Так как AM и MD -- медианы равных правильных треугольников, то они равны, значит, треугольник MAD -- равнобедренный и MQ -- медиана и высота. Из правильного треугольника ABC: AM=AB⋅sin60∘=253. AQ=QD=3, поэтому по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AQM получаем:
QM=AM2−AQ2=(253)2−32=475−436=239. Ответ: 239.
