Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГЭ 2024 (резерв)

В остроугольном треугольнике

ABC

проведены высоты

AK

CM

. На них из точек

M

K

опущены перпендикуляры

ME

KH

соответственно.

а) Докажите, что прямые

EH

AC

параллельны.

б) Найдите отношение

EH

AC

, если

\angle ABC=60^{\circ}

Решение

а) Так как

AK \perp BC

CM \perp BA

, то

\angle AKC = \angle CMA = 90^{\circ}

. Значит, четырёхугольник

AMKC

-- вписанный. Следовательно,

\angle CMK = \angle CAK

как вписанные и опирающиеся на одну дугу

CK

.
Так как

KH \perp CM

ME \perp AK

, то

\angle KHM = \angle MEK = 90^{\circ}

. Значит, четырёхугольник

KMEH

— вписанный. Следовательно,

\angle HMK = \angle HEK

как вписанные и опирающиеся на одну дугу

KH

.
Получаем, что

\angle HEK = \angle CAK

, значит,

EH \parallel AC

, так как равны соответствующие углы при этих прямых и секущей

EA

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Так как

\angle ABC = 60 ^{\circ}

, то

\angle BCM = 90^{\circ} - 60 ^{\circ}=30 ^{\circ}

по свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника

BMC

.
Пусть

AK \ \cap \ CM = O

, тогда

\angle HKO = 30 ^{\circ}

.
Обозначим длину

KO=x

, тогда

CO = 2x

по свойству катета, лежащего против угла в

30^{\circ}

в прямоугольном треугольнике

CKO

.
Аналогично для треугольника

KHO

имеем, что

HO = \dfrac{x}{2}

.
При этом

\triangle OHE \sim \triangle OCA

по двум углам (

\angle O

— общий, а

\angle HEO = \angle CAO

из пункта а), значит:

\dfrac{HE}{AC} = \dfrac{OH}{OC} = \dfrac{\dfrac{x}{2}}{2x}=\dfrac{1}{4}.

$Изображение 2$

Ответ:

\dfrac{1}{4}

Похожие задачи