В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC=60∘.
Решение
а) Так как AK⊥BC и CM⊥BA, то ∠AKC=∠CMA=90∘. Значит, четырёхугольник AMKC -- вписанный. Следовательно, ∠CMK=∠CAK как вписанные и опирающиеся на одну дугу CK. Так как KH⊥CM и ME⊥AK, то ∠KHM=∠MEK=90∘. Значит, четырёхугольник KMEH -- вписанный. Следовательно, ∠HMK=∠HEK как вписанные и опирающиеся на одну дугу KH. Получаем, что ∠HEK=∠CAK, значит, EH∥AC, так как равны соответствующие углы при этих прямых и секущей EA, ч.т.д.
б) Так как ∠ABC=60∘, то ∠BCM=90∘−60∘=30∘ по свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника BMC. Пусть AK∩CM=O, тогда ∠HKO=30∘. Обозначим длину KO=x, тогда CO=2x по свойству катета, лежащего против угла в 30∘ в прямоугольном треугольнике CKO. Аналогично для треугольника KHO имеем, что HO=2x. При этом △OHE∼△OCA по двум углам (∠O -- общий, а ∠HEO=∠CAO из пункта а), значит:
ACHE=OCOH=2x2x=41.
