Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

НеравенстваЕГКР 14.12.2023
Решите неравенство
6∣x−2∣−2∣x+6∣⩾1.\dfrac{6}{|x - 2|} - \dfrac{2}{|x + 6|} \geqslant 1.∣x−2∣6​−∣x+6∣2​⩾1.

Решение

Упростим неравенство:
6∣x+6∣−2∣x−2∣−∣x−2∣⋅∣x+6∣∣x−2∣⋅∣x+6∣⩾0.\dfrac{6|x + 6| - 2|x - 2| - |x - 2|\cdot |x + 6|}{|x - 2|\cdot |x + 6|} \geqslant 0.∣x−2∣⋅∣x+6∣6∣x+6∣−2∣x−2∣−∣x−2∣⋅∣x+6∣​⩾0.

Изображение 1


1) При x>2x > 2x>2 получаем:
6(x+6)−2(x−2)−(x−2)(x+6)(x−2)(x+6)⩾0;\dfrac{6(x + 6) - 2(x - 2) - (x - 2)(x + 6)}{(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0;(x−2)(x+6)6(x+6)−2(x−2)−(x−2)(x+6)​⩾0;
6x+36−2x+4−x2−4x+12(x−2)(x+6)⩾0;\dfrac{6x + 36 - 2x + 4 - x^2 - 4x + 12}{(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0;(x−2)(x+6)6x+36−2x+4−x2−4x+12​⩾0;
x2−52(x−2)(x+6)⩽0;\dfrac{x^2 - 52}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0;(x−2)(x+6)x2−52​⩽0;
(x−213)(x+213)(x−2)(x+6)⩽0.\dfrac{\left(x - 2\sqrt{13}\right)\left(x + 2\sqrt{13}\right)}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0.(x−2)(x+6)(x−213​)(x+213​)​⩽0.
По методу интервалов получаем:
Изображение 1

Тогда, с учётом того, что x>2x > 2x>2 имеем: x∈(2;213]x \in (2;2\sqrt{13}]x∈(2;213​].

2) При x∈(−6;2)x \in (-6; 2)x∈(−6;2) получаем:
6(x+6)+2(x−2)+(x−2)(x+6)−(x−2)(x+6)⩾0;\dfrac{6(x + 6) + 2(x - 2) + (x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0;−(x−2)(x+6)6(x+6)+2(x−2)+(x−2)(x+6)​⩾0;
6x+36+2x−4+x2+4x−12(x−2)(x+6)⩽0;\dfrac{6x + 36 + 2x - 4 + x^2 + 4x - 12}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0;(x−2)(x+6)6x+36+2x−4+x2+4x−12​⩽0;
x2+12x+20(x−2)(x+6)⩽0;\dfrac{x^2 + 12x + 20}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0;(x−2)(x+6)x2+12x+20​⩽0;
(x+10)(x+2)(x−2)(x+6)⩽0.\dfrac{(x + 10)(x + 2)}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0.(x−2)(x+6)(x+10)(x+2)​⩽0.
По методу интервалов получаем:
Изображение 3

Тогда, с учётом того, что x∈(−6;2)x \in (-6; 2)x∈(−6;2) имеем: x∈[−2;2)x \in [-2;2)x∈[−2;2).

3) При x<−6x < -6x<−6 получаем:
−6(x+6)+2(x−2)−(x−2)(x+6)(x−2)(x+6)⩾0;\dfrac{-6(x + 6) + 2(x - 2) - (x - 2)(x + 6)}{(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0;(x−2)(x+6)−6(x+6)+2(x−2)−(x−2)(x+6)​⩾0;
−6x−36+2x−4−x2−4x+12(x−2)(x+6)⩾0;\dfrac{-6x - 36 + 2x - 4 - x^2 - 4x + 12}{(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0;(x−2)(x+6)−6x−36+2x−4−x2−4x+12​⩾0;
x2+8x+28(x−2)(x+6)⩾0.\dfrac{x^2 + 8x + 28}{(x - 2)(x + 6)} \geqslant 0.(x−2)(x+6)x2+8x+28​⩾0.
Заметим, что
x2+8x+28=(x+4)2+12>0,x^2 + 8x + 28 = (x + 4)^2 + 12 > 0,x2+8x+28=(x+4)2+12>0,
тогда
x2+8x+28(x−2)(x+6)⩽0;∣:x2+8x+28>0\left.\dfrac{x^2 + 8x + 28}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0;\quad\right|:x^2 + 8x + 28 > 0(x−2)(x+6)x2+8x+28​⩽0;​:x2+8x+28>0
1(x−2)(x+6)⩽0.\dfrac{1}{(x - 2)(x + 6)} \leqslant 0.(x−2)(x+6)1​⩽0.
По методу интервалов получаем:
Изображение 4

Тогда, с учётом того, что x<−6x < -6x<−6 этот случай не даёт решений.

Объединяя полученные решения получаем x∈[−2;2)∪(2;213]x \in [-2;2)\cup (2;2\sqrt{13}]x∈[−2;2)∪(2;213​].

Ответ: [−2;2)∪(2;213][-2;2)\cup (2;2\sqrt{13}][−2;2)∪(2;213​].