Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{x2+y2=8x+6y−16,x2+y2=a2 имеет ровно два различных решения.
Решение
Преобразуем первое уравнение системы: x2−8x+y2−6y=−16, (x−4)2+(y−3)2=9. В системе координат Oxy полученное уравнение задаёт окружность с центром O1(4;3) и радиусом R1=3. Второе уравнение x2+y2=a2 задаёт окружность с центром O2(0;0) и радиусом R2=∣a∣. Если ∣a∣=0, то второе уравнение системы задаёт точку O2(0;0) -- окружность нулевого радиуса.
При изменении параметра a окружность будет менять размер. Исходная система будет иметь ровно два решения, если окружности с центрами O1 и O2 будут пересекаться ровно 2 раза. Найдём для начала при каких a окружности касаются.
Рассмотрим касания:
(I) касание внешнее (в точке A).
Точка касания лежит на отрезке
O1O2, при этом AO2+AO1=O1O2. AO1=R1=3,AO2=R2=∣a∣,O1O2=(4−0)2+(3−0)2=5. Получим ∣a∣+3=5,∣a∣=2.
(II) касание внутреннее (в точке B).
Точка касания B лежит на прямой O1O2, вне отрезка O1O2, при этом O1O2+O1B=O2B,O1O2=5,O1B=R1=3,O2B=R2=∣a∣. Получим 5+3=∣a∣,∣a∣=8.
Тогда для того, чтобы окружности пересекались дважды, нужно, чтобы 2<∣a∣<8, значит, a∈(−8;−2)∪(2;8).
Замечание:
При ∣a∣<2 окружность с центром O2 слишком мала, а при ∣a∣>8 -- слишком велика, поэтому при таких a окружности не имеют общих точек.
