Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} x^2 + y^2 = 8x + 6y - 16, \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы:

x^2 - 8x + y^2 - 6y = -16

(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9.

В системе координат

Oxy

полученное уравнение задаёт окружность с центром

O_1(4; 3)

и радиусом

R_1 = 3

.
Второе уравнение

x^2 + y^2 = a^2

задаёт окружность с центром

O_2(0; 0)

и радиусом

R_2 = |a|

.
Если

|a|=0

, то второе уравнение системы задаёт точку

O_2(0;0)

-- окружность нулевого радиуса.
При изменении параметра

a

окружность будет менять размер. Исходная система будет иметь ровно два решения, если окружности с центрами

O_1

O_2

будут пересекаться ровно 2 раза. Найдём для начала при каких

a

окружности касаются.

$Interactive background for parameters-2026:14.1$

Рассмотрим касания:
(I) касание внешнее (в точке

A

).
Точка касания лежит на отрезке

O_1O_2

, при этом

AO_2 + AO_1 = O_1O_2

AO_1 = R_1 = 3, \ AO_2 = R_2 = |a|, \ O_1O_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = 5.

Получим

|a|+3=5

|a| = 2

.

(II) касание внутреннее (в точке

B

).
Точка касания

B

лежит на прямой

O_1O_2

, вне отрезка

O_1O_2,

при этом

O_1O_2 + O_1B = O_2B

O_1O_2 = 5

O_1B = R_1 = 3

O_2B = R_2 = |a|.

Получим

5 + 3 = |a|

|a| = 8

.

Тогда для того, чтобы окружности пересекались дважды, нужно, чтобы

2 < |a| < 8,

значит,

a \in (-8; -2) \cup (2; 8).

Замечание:

При

|a| < 2

окружность с центром

O_2

слишком мала, а при

|a| > 8

-- слишком велика, поэтому при таких

a

окружности не имеют общих точек.

Ответ:

(-8; -2) \cup (2; 8).

$Static parameter plot for parameters-2026:14.1$

Похожие задачи