Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
⎩⎨⎧ax≥2,x−1>a,3x≤2a+11 имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4].
Решение
Преобразуем неравенства системы:
ax⩾2⇒a⩾x2;(1)x−1>a⇒a<x−1;(2)3x⩽2a+11⇒2a⩾3x−11⇒a⩾23x−11.(3) (1) задаёт область над гиперболой (при положительных x)a=2x, включая границу;
(2) задаёт область под графиком корня a=x−1, не включая границу;
(3) задаёт полуплоскость выше прямой a=23x−11, включая границу.
Заметим, что гипербола и корень пересекаются в точке (2;1). Так как при x>0 функция a=x2 убывает, а функция a=x−1 возрастает, то эта точка единственна и при x∈[3;4] график корня находится выше графика гиперболы.
Найдём точку пересечения прямой и гиперболы:
23x−11=x2⇒3x2−11x−4=0; D=(−11)2−4⋅3⋅(−4)=169=132; x1=611−13=−31;x2=611+13=4. Таким образом, парабола и гипербола пересекаются в точке (4;21). Так как функция a=23x−11 является возрастающей, то при x∈[3;4) график корня лежит выше графика прямой.
Таким образом, при x∈[3;4] исходная система задаёт множество между графиками гиперболы a=x2 и корня a=x−1, не включая точки, лежащие на графике корня.
Функции a=x−1 и прямая x=4 пересекаются в точке (4;3). Следовательно, система имеет хотя бы одно решение при a∈[21;3).
