Система неравенств с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система неравенств

\begin{cases}ax \geq 2, \\\sqrt{x - 1} > a, \\3x \leq 2a + 11\end{cases}

имеет хотя бы одно решение на отрезке

[3; 4]

Решение

Преобразуем неравенства системы:

ax \geqslant 2 \quad \Rightarrow \quad a \geqslant \frac{2}{x}; \quad (1)\\ \sqrt{x-1} > a \quad \Rightarrow \quad a < \sqrt{x-1}; \quad (2)\\ 3x \leqslant 2a + 11 \quad \Rightarrow \quad 2a \geqslant 3x - 11 \quad \Rightarrow \quad a \geqslant \frac{3x - 11}{2}. \quad (3)

(1) задаёт область над гиперболой (при положительных

x

)

a = \dfrac{x}{2}

, включая границу;

(2) задаёт область под графиком корня

a = \sqrt{x - 1}

, не включая границу;

(3) задаёт полуплоскость выше прямой

a = \dfrac{3x - 11}{2}

, включая границу.

Заметим, что гипербола и корень пересекаются в точке

(2; 1)

. Так как при

x > 0

функция

a = \dfrac{2}{x}

убывает, а функция

a = \sqrt{x - 1}

возрастает, то эта точка единственна и при

x \in [3; 4]

график корня находится выше графика гиперболы.

Найдём точку пересечения прямой и гиперболы:

\dfrac{3x - 11}{2} = \dfrac{2}{x}\quad\Rightarrow\quad 3x^2 - 11x - 4 = 0;

D = (-11)^2 - 4\cdot 3\cdot (-4) = 169 = 13^2;

x_1 = \dfrac{11 - 13}{6} = -\dfrac{1}{3};\quad x_2 = \dfrac{11 + 13}{6} = 4.

Таким образом, парабола и гипербола пересекаются в точке

\left(4; \dfrac{1}{2}\right)

. Так как функция

a = \dfrac{3x - 11}{2}

является возрастающей, то при

x \in [3; 4)

график корня лежит выше графика прямой.

Таким образом, при

x \in [3; 4]

исходная система задаёт множество между графиками гиперболы

a = \dfrac{2}{x}

и корня

a = \sqrt{x - 1}

, не включая точки, лежащие на графике корня.
Функции

a = \sqrt{x - 1}

и прямая

x = 4

пересекаются в точке

(4; \sqrt{3})

. Следовательно, система имеет хотя бы одно решение при

a \in \left[\dfrac{1}{2}; \sqrt{3}\right)

.

Ответ:

\left[\dfrac{1}{2}; \sqrt{3}\right)

Похожие задачи