В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки B1 и C1, причём BB1 – образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
a) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB=20,BB1=15,B1C1=21.
Решение
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую AC1. Пусть она пересекает основание цилиндра в точке C.
Получаем, что CC1 - образующая, а AC пересекает ось цилиндра, то есть проходит через центр нижнего основания.Тогда AC - диаметр, а ∠ABC=90∘ как вписанный и опирающийся на диаметр. CC1⊥ABC⇒CC1⊥AB. Так как CC1⊥AB и BC⊥AB, то AB⊥BCC1, тогда AB⊥C1B⇒∠ABC1=90∘. Что и требовалось доказать.
б) Так как BB1C1C - прямоугольник (BB1 и CC1 - образующие, BB1=CC1,BB1∥CC1,CC1⊥AB), то BC=B1C1=21. По теореме Пифагора в △ABC:AC=d=AB2+BC2=202+212=29. CC1=BB1=h=15, тогда :
Sб.пов.=2πrh=πdh=29⋅15π=435π Ответ: б) 435π.
