В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Ответ:
Решение
1) Так как AA1⊥BC и BB1⊥AC, имеем ∠AA1B=∠AB1B=90∘. Следовательно, точки A,B,A1,B1 лежат на одной окружности.
2) Угол ∠A1CB1 равен углу ∠ACB, так как CA1 лежит на прямой CB, а CB1 — на прямой CA.
3) В окружности A,B,A1,B1 углы ∠BA1B1 и ∠BAB1 опираются на хорду BB1, поэтому равны. Поскольку A1B и A1C — противоположные лучи, а AB1 и AC лежат на одной прямой, получаем равенство дополнительных углов: ∠CA1B1=∠CAB.
4) Итак, ∠A1CB1=∠ACB и ∠CA1B1=∠CAB. Следовательно, △A1CB1∼△ACB.
