Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГКР 16.12.2025
Скопировать ссылку
7207eced
Решите неравенство
(
x
+
1
)
2
−
1
x
−
1
⩽
(
x
−
1
)
2
+
1
x
+
1
.
(x + 1)^2 - \dfrac{1}{x - 1} \leqslant (x - 1)^2 + \dfrac{1}{x + 1}.
(
x
+
1
)
2
−
x
−
1
1
⩽
(
x
−
1
)
2
+
x
+
1
1
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Используем формулы квадрата суммы и разности:
x
2
+
2
x
+
1
−
1
x
−
1
⩽
x
2
−
2
x
+
1
+
1
x
+
1
;
x^2 + 2x + 1 - \dfrac{1}{x - 1} \leqslant x^2 - 2x + 1 + \dfrac{1}{x + 1};
x
2
+
2
x
+
1
−
x
−
1
1
⩽
x
2
−
2
x
+
1
+
x
+
1
1
;
4
x
−
1
x
−
1
−
1
x
+
1
⩽
0
;
4x - \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} \leqslant 0;
4
x
−
x
−
1
1
−
x
+
1
1
⩽
0
;
4
x
(
x
2
−
1
)
−
(
x
+
1
)
−
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
⩽
0
;
\dfrac{4x(x^2 - 1) - (x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0;
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
4
x
(
x
2
−
1
)
−
(
x
+
1
)
−
(
x
−
1
)
⩽
0
;
2
x
(
2
x
2
−
3
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
⩽
0
;
\dfrac{2x(2x^2 - 3)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0;
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
2
x
(
2
x
2
−
3
)
⩽
0
;
x
(
x
−
3
2
)
(
x
+
3
2
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
⩽
0.
\dfrac{x\left(x - \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)}{(x - 1)(x + 1)} \leqslant 0.
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
x
(
x
−
2
3
)
(
x
+
2
3
)
⩽
0.
Воспользуемся методом интервалов:
x
∈
(
−
∞
;
−
3
2
]
∪
(
−
1
;
0
]
∪
(
1
;
3
2
]
.
x\in \left(-\infty; -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]\cup (-1;0]\cup \left(1;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right].
x
∈
(
−
∞
;
−
2
3
]
∪
(
−
1
;
0
]
∪
(
1
;
2
3
]
.
Ответ:
(
−
∞
;
−
3
2
]
∪
(
−
1
;
0
]
∪
(
1
;
3
2
]
\left(-\infty; -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]\cup (-1;0]\cup \left(1;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right]
(
−
∞
;
−
2
3
]
∪
(
−
1
;
0
]
∪
(
1
;
2
3
]
.
