В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL:LB=SN:NC=1:4. Плоскость α содержит прямую LN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
Решение
а)
Проведём через точку N прямую MN∥BC, где M∈SB. Так как N∈α и α∥BC, то
MN лежит в плоскости α.
В △SBC имеем MN∥BC, поэтому по теореме Фалеса:
MBSM=NCSN=41. Тогда в △ABS, так как LBAL=41: MBSM=LBAL. Следовательно, по обратной теореме Фалеса:
LM∥AS. Так как L∈α и M∈α, то LM лежит в плоскости α. Значит, плоскость α содержит прямую LM, параллельную прямой SA. Значит,
α∥SA.
Что и требовалось доказать.
б) Найдём угол между плоскостями α и SBC.
Достроим сечение плоскостью α. Через точку L проведём прямую LK∥BC, где K∈AC. Тогда четырёхугольник LKMN --- сечение призмы плоскостью α.
Пусть D --- середина BC. Тогда в правильном △ABC отрезок AD является высотой, поэтому AD⊥BC. В равнобедренном △SBC отрезок SD тоже является высотой, значит, SD⊥BC.
Так как прямые AD и SD лежат в плоскости (ASD) и пересекаются, то BC⊥(ASD). Знаем, что MN∥BC, поэтому MN⊥(ASD).
Обозначим:
P=LK∩AD,T=MN∩SD. Тогда
TD=(SBC)∩(ASD),PT=α∩(ASD). Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу между прямыми PT и TD, то есть углу ∠PTD. Так как α∥SA, то PT∥SA. Поэтому
∠PTD=∠ASD. Значит, дальше достаточно рассмотреть △ASD.
Так как △ABC правильный со стороной 10, то его высота равна
AD=2103=53. Так как D --- середина BC, то DC=5. В прямоугольном △SDC: SD=SC2−DC2=72−52=26. По теореме косинусов для △ASD: AD2=AS2+SD2−2⋅AS⋅SD⋅cos∠ASD,75=49+24−2⋅7⋅26⋅cos∠ASD,75=73−286cos∠ASD,286cos∠ASD=−2,cos∠ASD=−1461. Получили отрицательный косинус, значит, угол ∠ASD тупой.
Но угол между плоскостями по определению берут острым, поэтому нам нужен угол φ, смежный с ∠ASD. У смежных углов косинусы отличаются знаком, значит,
cosφ=1461. Тогда
φ=arccos1461. Ответ: arccos1461.
