Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 14.02.2024

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\log_a \sqrt{21+4a^{2\cos x}}=2\cos x

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Так как

a

--- основание логарифма, то необходимо выполнение условий

a>0,\qquad a\ne 1.

После того как эти ограничения введены, можно преобразовать уравнение:

\log_a \sqrt{21+4a^{2\cos x}}=2\cos x\iff\sqrt{21+4a^{2\cos x}}=a^{2\cos x}.

Введём замену:

a^{2\cos x}=t.

Тогда уравнение принимает вид

\sqrt{21+4t}=t.

Это равносильно системе

\left\{\begin{array}{l}21+4t=t^2,\\t\geqslant0.\end{array}\right.

Решим квадратное уравнение

21+4t=t^2

t_1=7,\qquad t_2=-3.

Так как

t\geqslant0

, то остаётся только

t=7

.

Значит, нужно, чтобы уравнение

a^{2\cos x}=7

имело хотя бы одно решение.

Так как

-2\leqslant 2\cos x\leqslant 2

, рассмотрим два случая.

Случай.

0< a <1

.

Тогда

a^2\leqslant a^{2\cos x}\leqslant \dfrac{1}{a^2}.

Чтобы число

7

попало в этот промежуток, необходимо:

\left\{ \begin{array}{l} a^2\leqslant 7,\\ 7\leqslant \dfrac{1}{a^2}. \end{array} \right.

Первое неравенство выполняется автоматически.

Из второго получаем:

7a^2\leqslant 1,\\ a^2\leqslant \dfrac{1}{7},\\ 0 < a\leqslant \dfrac{1}{\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{7}.

2 случай.

a > 1

.

Тогда

\dfrac{1}{a^2}\leqslant a^{2\cos x}\leqslant a^2.

Чтобы число

7

попало в этот промежуток, необходимо:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{a^2}\leqslant 7,\\ 7\leqslant a^2. \end{array} \right.

Первое неравенство выполняется автоматически.

Из второго получаем:

a^2\geqslant 7,\\ a\geqslant \sqrt7.

Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

0< a \leqslant \dfrac{\sqrt7}{7}\qquad \text{или} \qquada\geqslant \sqrt7.

Ответ:

0 < a\leqslant \dfrac{\sqrt7}{7}

;

a\geqslant \sqrt7

Похожие задачи