Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga21+4a2cosx=2cosx имеет хотя бы одно решение.
Решение
Так как a --- основание логарифма, то необходимо выполнение условий
a>0,a=1. После того как эти ограничения введены, можно преобразовать уравнение:
loga21+4a2cosx=2cosx⟺21+4a2cosx=a2cosx. Введём замену:
a2cosx=t. Тогда уравнение принимает вид
21+4t=t. Это равносильно системе
{21+4t=t2,t⩾0. Решим квадратное уравнение 21+4t=t2: t1=7,t2=−3. Так как t⩾0, то остаётся только t=7.
Значит, нужно, чтобы уравнение
a2cosx=7 имело хотя бы одно решение.
Так как −2⩽2cosx⩽2, рассмотрим два случая.
Случай. 0<a<1.
Тогда
a2⩽a2cosx⩽a21. Чтобы число 7 попало в этот промежуток, необходимо:
{a2⩽7,7⩽a21. Первое неравенство выполняется автоматически.
Из второго получаем:
7a2⩽1,a2⩽71,0<a⩽71=77. 2 случай. a>1.
Тогда
a21⩽a2cosx⩽a2. Чтобы число 7 попало в этот промежуток, необходимо:
{a21⩽7,7⩽a2. Первое неравенство выполняется автоматически.
Из второго получаем:
a2⩾7,a⩾7. Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при
0<a⩽77илиa⩾7. Ответ: 0<a⩽77;a⩾7.
